$\ln 2$ et $\pi /4$ par le théorème d'Abel radial

À l'aide du théorème d'Abel radial (au programme ; seule sa démonstration est hors programme), calculer $\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}$ et $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ (faire $x\to 1^{-}$ dans $\ln (1+x)$ et $\mathrm{Arctan}x$ : $\ln 2$ et $\frac{\pi }{4}$ — les deux sommes mythiques, enfin justifiées proprement).