mathématiques (PC) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Multiplier par $\frac{1}{1 - z}$ , c'est cumuler

Séries Entières · B. Opérations, produit de Cauchy et calculs de sommes · niveau 2

Énoncé

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon $R > 0$ et, pour $n \in N$ , $s_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ .

1) À l'aide du produit de Cauchy par la série géométrique, montrer que la série $\sum s_{n} z^{n}$ a un rayon supérieur ou égal à $min (R, 1)$ et que, pour $∣ z ∣ < min (R, 1)$ , $n \geq 0 \sum s_{n} z^{n} = \frac{1}{1 - z} n \geq 0 \sum a_{n} z^{n} .$ Donner un exemple où le rayon de $\sum s_{n} z^{n}$ est strictement plus grand que $min (R, 1)$ .

2) Soit $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ , avec $H_{0} = 0$ . Montrer que $\sum_{n \geq 1} H_{n} x^{n} = \frac{- l n ( 1 - x )}{1 - x}$ pour $∣ x ∣ < 1$ , et préciser le rayon.

3) Déterminer le rayon et la somme de $\sum_{n \geq 0} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}) x^{n}$ .

4) Interpréter : que devient la fonction génératrice d'une suite quand on remplace la suite par celle de ses sommes partielles ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Le produit de Cauchy est une convolution : le coefficient d'indice $n$ du produit est $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ . Quand l'un des deux facteurs est la série géométrique, dont tous les coefficients valent $1$ , cette convolution est exactement la somme cumulée.

1) Le produit par la série géométrique. La série géométrique $\sum z^{n}$ a pour rayon $1$ et pour somme $\frac{1}{1 - z}$ sur le disque unité ouvert. Le produit de Cauchy de $\sum a_{n} z^{n}$ par $\sum z^{n}$ a pour coefficient d'indice $n$ $c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} \cdot 1 = s_{n} .$ Par le théorème du cours sur le produit de Cauchy, cette série a un rayon supérieur ou égal à $min (R, 1)$ , et, sur le disque ouvert de rayon $min (R, 1)$ , sa somme est le produit des deux sommes : c'est l'égalité annoncée.

Un rayon plus grand. Prenons $a_{0} = 1$ , $a_{1} = - 1$ et $a_{n} = 0$ pour $n \geq 2$ : la série est un polynôme, de rayon infini, et $min (R, 1) = 1$ . Or $s_{0} = 1$ et $s_{n} = 0$ pour $n \geq 1$ : la série $\sum s_{n} z^{n}$ se réduit à $1$ , de rayon infini. La formule l'explique : $\frac{1 - z}{1 - z} = 1$ , le facteur $1 - z$ du numérateur compense le pôle en $1$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soit $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ , avec $H_{0} = 0$ . Montrer que $\sum_{n \geq 1} H_{n} x^{n} = \frac{- l n ( 1 - x )}{1 - x}$ pour $∣ x ∣ < 1$ , et préciser le rayon.

Élève

Avec $a_{n} = \frac{1}{n}$ , la question 1 donne la formule et un rayon au moins égal à $1$ . Mais l'exemple du 1) montre que le rayon peut dépasser $min (R, 1)$ : je ne sais pas comment trancher ici.

Tu as raison, le 1) ne donne qu'une minoration du rayon. Pour montrer qu'il ne dépasse pas $1$ , de quoi te suffit-il de disposer ?

Élève

D'un point de module $1$ où la série ne converge pas, par exemple $x = 1$ . Là, la série devient $\sum H_{n}$ .

Bien. Quel comportement du terme général $H_{n}$ peux-tu exploiter en ce point, et pourquoi cela suffit-il pour majorer le rayon, sans même étudier les autres points du cercle unité ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Multiplier par 1−z1​, c'est cumuler

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

Multiplier par $\frac{1}{1 - z}$ , c'est cumuler