Multiplier par $\frac{1}{1 - z}$ , c'est cumuler

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 8 — Séries Entières · B. Opérations, produit de Cauchy et calculs de sommes

Énoncé

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière de rayon $R > 0$ et, pour $n \in N$ , $s_{n} = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n}$ .

1) À l'aide du produit de Cauchy par la série géométrique, montrer que la série $\sum s_{n} z^{n}$ a un rayon supérieur ou égal à $min (R, 1)$ et que, pour $∣ z ∣ < min (R, 1)$ , $n \geq 0 \sum s_{n} z^{n} = \frac{1}{1 - z} n \geq 0 \sum a_{n} z^{n} .$ Donner un exemple où le rayon de $\sum s_{n} z^{n}$ est strictement plus grand que $min (R, 1)$ .

2) Soit $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ , avec $H_{0} = 0$ . Montrer que $\sum_{n \geq 1} H_{n} x^{n} = \frac{- l n ( 1 - x )}{1 - x}$ pour $∣ x ∣ < 1$ , et préciser le rayon.

3) Déterminer le rayon et la somme de $\sum_{n \geq 0} (\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}) x^{n}$ .

4) Interpréter : que devient la fonction génératrice d'une suite quand on remplace la suite par celle de ses sommes partielles ?

Corrigé

La stratégie. Le produit de Cauchy est une convolution : le coefficient d'indice $n$ du produit est $\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ . Quand l'un des deux facteurs est la série géométrique, dont tous les coefficients valent $1$ , cette convolution est exactement la somme cumulée.

1) Le produit par la série géométrique. La série géométrique $\sum z^{n}$ a pour rayon $1$ et pour somme $\frac{1}{1 - z}$ sur le disque unité ouvert. Le produit de Cauchy de $\sum a_{n} z^{n}$ par $\sum z^{n}$ a pour coefficient d'indice $n$ $c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} \cdot 1 = s_{n} .$ Par le théorème du cours sur le produit de Cauchy, cette série a un rayon supérieur ou égal à $min (R, 1)$ , et, sur le disque ouvert de rayon $min (R, 1)$ , sa somme est le produit des deux sommes : c'est l'égalité annoncée.

Un rayon plus grand. Prenons $a_{0} = 1$ , $a_{1} = - 1$ et $a_{n} = 0$ pour $n \geq 2$ : la série est un polynôme, de rayon infini, et $min (R, 1) = 1$ . Or $s_{0} = 1$ et $s_{n} = 0$ pour $n \geq 1$ : la série $\sum s_{n} z^{n}$ se réduit à $1$ , de rayon infini. La formule l'explique : $\frac{1 - z}{1 - z} = 1$ , le facteur $1 - z$ du numérateur compense le pôle en $1$ .

2) La génératrice des nombres harmoniques. Prenons $a_{0} = 0$ et $a_{n} = \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$ : alors $s_{n} = H_{n}$ , et $\sum_{n \geq 1} \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x)$ pour $∣ x ∣ < 1$ — c'est le développement de $ln (1 + u)$ en $u = - x$ —, de rayon $1$ . La question 1 donne, pour $∣ x ∣ < 1$ , $n \geq 1 \sum H_{n} x^{n} = \frac{- ln ( 1 - x )}{1 - x},$ et un rayon au moins égal à $1$ . Comme $H_{n} \geq 1$ pour $n \geq 1$ , les termes ne tendent pas vers $0$ en $x = 1$ : la série y diverge grossièrement, et le rayon vaut au plus $1$ . Le rayon vaut $1$ .

3) Les sommes partielles de l'exponentielle. Ici $a_{n} = \frac{1}{n !}$ , $\sum \frac{x ^{n}}{n !} = e^{x}$ de rayon infini, et $min (R, 1) = 1$ . La question 1 donne un rayon au moins égal à $1$ et, pour $∣ x ∣ < 1$ , $n \geq 0 \sum (k = 0 \sum n \frac{1}{k !}) x^{n} = \frac{e ^{x}}{1 - x} .$ Les coefficients tendent vers $e \neq = 0$ : la série diverge grossièrement en $x = 1$ , et le rayon vaut exactement $1$ . Le pôle en $1$ du facteur $\frac{1}{1 - x}$ n'est ici compensé par rien.

4) L'interprétation. Remplacer une suite par la suite de ses sommes partielles, c'est diviser sa fonction génératrice par $1 - z$ : multiplier par $\frac{1}{1 - z}$ , c'est cumuler — une intégration discrète —, de même que multiplier par $1 - z$ , c'est passer aux différences $a_{n} - a_{n - 1}$ — une dérivation discrète. Le rayon vaut au moins $min (R, 1)$ , et il peut être plus grand quand le numérateur compense le pôle en $1$ , comme dans l'exemple de la question 1.

Contrôle numérique. En $x = 0, 9$ , $\frac{- l n ( 0 , 1 )}{0 , 1} = 10 ln 10 = 23, 02585$ , et la somme de trois mille termes de $\sum H_{n} x^{n}$ donne la même valeur. En $x = 0, 5$ , $\frac{e ^{0, 5}}{0 , 5} = 3, 2974425$ , valeur que redonne la série de la question 3.

Ce que l'exercice installe. Le produit de Cauchy est une convolution ; par la série géométrique, il cumule. Le même geste servira en probabilités, au TD 11 : si $G$ est la fonction génératrice d'une variable $X$ à valeurs entières, celle des probabilités $P (X \leq n)$ est $\frac{G ( s )}{1 - s}$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

Multiplier par 1−z1​, c'est cumuler

Énoncé

Corrigé

Multiplier par $\frac{1}{1 - z}$ , c'est cumuler