Problème : la quantification de l'oscillateur harmonique, et les polynômes d'Hermite

D'où vient l'équation. L'équation de Schrödinger stationnaire d'une particule de masse $m$ dans le potentiel $\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}^2$ s'écrit $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\psi }^{\prime \prime }+\frac{1}{2}m{\omega }^2{X}^2\psi =E\psi$ ; le changement d'échelle $X=\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}x$ la ramène à l'équation de l'énoncé, avec $\epsilon =\frac{E}{\hslash \omega }$. C'est de la physique, admise ; le problème commence ici.

1) Le changement de fonction. La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et ne s'annule pas : $\psi$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ si et seulement si $y=\psi {\mathrm{e}}^{x^2/2}$ l'est. Pour $\psi =y{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$, $${\psi }^{\prime }=(y^{\prime }-xy){\mathrm{e}}^{-x^2/2},$$ $${\psi }^{\prime \prime }=(y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+(x^2-1)y){\mathrm{e}}^{-x^2/2}.$$ Donc ${\psi }^{\prime \prime }+(2\epsilon -x^2)\psi =(y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+(2\epsilon -1)y){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$, et, l'exponentielle ne s'annulant pas, $\psi$ est solution si et seulement si $y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2\nu y=0$, avec $2\nu =2\epsilon -1$.

2) Les solutions en série entière. L'analyse. Soit $y=\sum a_n{x}^n$ de rayon $\rho >0$. Sur $]-\rho ,\rho [$, en dérivant terme à terme et en réindexant, $$y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+2\nu y=\sum _{n\ge 0}((n+2)(n+1)a_{n+2}-2n{a}_n+2\nu a_n)x^n.$$ Par unicité des coefficients, $y$ est solution si et seulement si, pour tout $n$, $$(n+2)(n+1)a_{n+2}=2(n-\nu )a_n.$$ La relation lie $a_{n+2}$ à $a_n$ : les indices pairs dépendent de $a_0$ seul, les impairs de $a_1$ seul.

Le rayon. Considérons la partie paire, lue en $u=x^2$ avec $b_k=a_{2k}$. Si un $b_k$ s'annule, tous les suivants sont nuls et la série est un polynôme. Sinon, $\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right|=\frac{2|2k-\nu |}{(2k+2)(2k+1)}\to 0$ : la série en $u$ a un rayon infini, et la série en $x$ aussi. De même pour la partie impaire. Le rayon est infini. Réciproquement, pour tous $a_0$ et $a_1$, la relation définit une série de rayon infini dont la somme, par le même calcul lu à l'envers, est solution sur $\mathbb{R}$.

La structure. Notons $y_0$ la solution associée à $a_0=1$, $a_1=0$ : elle n'a que des coefficients pairs, elle est paire, et $y_0(0)=1$, $y_0^{\prime }(0)=0$. Notons $y_1$ celle associée à $a_0=0$, $a_1=1$ : impaire, avec $y_1(0)=0$, $y_1^{\prime }(0)=1$. Soit maintenant $y$ une solution quelconque sur $\mathbb{R}$. La fonction $z=y(0)y_0+y^{\prime }(0)y_1$ est solution, par linéarité, et vérifie $z(0)=y(0)$ et $z^{\prime }(0)=y^{\prime }(0)$. L'équation étant linéaire du second ordre à coefficients continus, l'unicité de la solution du problème de Cauchy — admise, comme le programme le prescrit — donne $y=z$. Toute solution s'écrit $a_0{y}_0+a_1{y}_1$, avec $a_0=y(0)$ et $a_1=y^{\prime }(0)$.

3) Les polynômes d'Hermite. Supposons $\nu =N\in \mathbb{N}$. Si $N$ est pair, $N=2m$, la relation en $n=2m$ donne $a_{2m+2}=0$ : tous les coefficients pairs au-delà de l'indice $2m$ sont nuls, et $y_0$ est un polynôme de degré $2m=N$ (son coefficient $a_{2m}$ est non nul, les facteurs $2(2k-N)$ ne s'annulant pas pour $k<m$). Si $N$ est impair, $N=2m+1$, c'est $y_1$ qui s'arrête au degré $N$. Explicitement :

• $N=0$ : $y_0=1$ ;
• $N=1$ : $y_1=x$ ;
• $N=2$ : $a_2=2(0-2)a_0/2=-2$, donc $y_0=1-2x^2$ ;
• $N=3$ : $a_3=2(1-3)a_1/6=-\frac{2}{3}$, donc $y_1=x-\frac{2}{3}{x}^3$.

À un facteur près, ce sont $1$, $2x$, $4x^2-2$, $8x^3-12x$ : les polynômes d'Hermite $H_0,\dots ,H_3$ (par exemple $4x^2-2=-2y_0$ et $8x^3-12x=-12y_1$). Réciproquement, la même relation montre que $y_0$ est un polynôme si et seulement si $\nu$ est un entier pair positif ou nul, et $y_1$ si et seulement si $\nu$ est un entier impair positif.

4) Les coefficients d'une série qui ne s'arrête pas. Supposons que $y_0$ ne soit pas un polynôme. Alors aucun $a_{2k}$ n'est nul : sinon, la relation annulerait tous les suivants. La relation en $n=2k$ s'écrit $$a_{2k+2}=\frac{2(2k-\nu )}{(2k+2)(2k+1)}{a}_{2k}.$$ Dès que $2k>\nu$, le facteur est strictement positif : à partir de ce rang, les $a_{2k}$ ont un signe constant. Et $$(k+1)\frac{a_{2k+2}}{a_{2k}}=\frac{2(k+1)(2k-\nu )}{(2k+2)(2k+1)}=\frac{2k-\nu }{2k+1}⟶1.$$

5) La croissance de $y_0$. La minoration des coefficients. Soit $\eta \in ]0,1[$. Il existe un rang $k_1$, au-delà du rang de la question 4, tel que $(k+1)\frac{a_{2k+2}}{a_{2k}}\ge 1-\eta$ pour $k\ge k_1$, c'est-à-dire $|a_{2k+2}|\ge \frac{1-\eta }{k+1}|a_{2k}|$. Par récurrence, pour $k\ge k_1$, $$|a_{2k}|\ge C\frac{(1-\eta {)}^k}{k!},C=|a_{2k_1}|k_1!(1-\eta {)}^{-k_1}>0.$$ La minoration de la somme. Notons $\sigma \in \{-1,1\}$ le signe commun des $a_{2k}$ pour $k\ge k_1$. Pour $x\ge 0$, $$\sigma y_0(x)\ge -\sum _{k<k_1}|a_{2k}|x^{2k}+C\sum _{k\ge k_1}\frac{{\left((1-\eta )x^2\right)}^k}{k!}.$$ La dernière somme vaut ${\mathrm{e}}^{(1-\eta )x^2}$ moins ses $k_1$ premiers termes. En regroupant dans un polynôme $P$ les termes d'indice $k<k_1$, on obtient $$|y_0(x)|\ge \sigma y_0(x)\ge C{\mathrm{e}}^{(1-\eta )x^2}-P(x).$$ L'explosion. Prenons $\eta =\frac{1}{4}$ : $|y_0(x)|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}\ge C{\mathrm{e}}^{x^2/4}-P(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$. Le premier terme tend vers $+\infty$, le second vers $0$ par croissances comparées : $|y_0(x)|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}\to +\infty$. Une série qui ne s'arrête pas croît comme ${\mathrm{e}}^{x^2}$, à un facteur près, et l'exponentielle ${\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ ne suffit pas à la tenir.

Pour $y_1$. Si $y_1$ n'est pas un polynôme, le même raisonnement, avec $(k+1)\frac{a_{2k+3}}{a_{2k+1}}=\frac{2k+1-\nu }{2k+3}\to 1$ et $y_1(x)=x\sum a_{2k+1}(x^2{)}^k$, donne $|y_1(x)|\ge cx{\mathrm{e}}^{(1-\eta )x^2}-xP(x)$, et $|y_1(x)|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}\to +\infty$ quand $x\to +\infty$.

6) La quantification. Soit $\psi =(a_0{y}_0+a_1{y}_1){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ bornée et non nulle. Comme $y_0$ est paire, $y_1$ impaire et la gaussienne paire, $$\psi (x)+\psi (-x)=2a_0{y}_0(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2},\psi (x)-\psi (-x)=2a_1{y}_1(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2},$$ et ces deux fonctions sont bornées, comme $\psi$. Raisonnons par l'absurde : si $\nu \notin \mathbb{N}$, ni $y_0$ ni $y_1$ n'est un polynôme (question 3) ; par la question 5, $|y_0|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ et $|y_1|{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ tendent vers $+\infty$ ; les fonctions ci-dessus ne sont bornées que si $a_0=0$ et $a_1=0$, et alors $\psi =0$. Contradiction : $\nu$ est un entier naturel $N$.

Réciproquement, pour $\nu =N$, la solution polynomiale $H_N$ donne ${\psi }_N=H_N(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$, continue et de limite nulle en $\pm \infty$, donc bornée, et non nulle. La même parité montre qu'alors la solution acceptable est unique à un facteur près : l'autre série, qui ne s'arrête pas, doit avoir un coefficient nul.

Les énergies. $\nu =\epsilon -\frac{1}{2}=N$ donne $\epsilon =N+\frac{1}{2}$, soit $$E_N=\left(N+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega ,N\in \mathbb{N}.$$ L'état fondamental, $N=0$, a pour fonction d'onde la gaussienne ${\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ et pour énergie $E_0=\frac{\hslash \omega }{2}$, non nulle : c'est l'énergie de point zéro, qu'aucun état ne peut abaisser.

Le théorème obtenu — la quantification de l'oscillateur harmonique. Les solutions bornées et non nulles de ${\psi }^{\prime \prime }+(2\epsilon -x^2)\psi =0$ existent si et seulement si $\epsilon =N+\frac{1}{2}$ avec $N\in \mathbb{N}$ ; ce sont alors les multiples non nuls de $H_N(x){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$, où $H_N$ est le polynôme d'Hermite de degré $N$. Les énergies permises de l'oscillateur harmonique quantique sont les $E_N=\left(N+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$.

Contrôle numérique. La quantification se voit sur les nombres. Pour $\nu =2$, la fonction $y_0{\mathrm{e}}^{-x^2/2}=(1-2x^2){\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ vaut $-1,6\cdot 10^{-12}$ en $x=8$ ; pour $\nu =2,001$, la série qui ne s'arrête plus donne, au même point, $1,4\cdot 10^8$. Un écart d'un millième sur l'énergie réduite transforme un état acceptable en une fonction qui explose. Pour $\nu =0,1$, $y_0{\mathrm{e}}^{-x^2/2}$ vaut déjà $-58$ en $x=4$ et $-7\cdot 10^{11}$ en $x=8$.

Ce que le problème installe. La croissance des coefficients décide du comportement à l'infini : une série entière dont le rapport de deux coefficients consécutifs se comporte comme celui de ${\mathrm{e}}^{x^2}$ croît comme ${\mathrm{e}}^{x^2}$. Et une condition physique — rester borné — ne laisse passer que les solutions dont la série s'arrête : la quantification sort des mathématiques, sans être imposée. C'est le même mécanisme qui quantifie les niveaux de l'atome d'hydrogène. Les niveaux $\left(N+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ serviront au TD 11, où ils donnent la formule de Planck.