Résolution de l'Équation Différentielle d'Airy

On cherche une solution développable en série entière $y(x)={\sum }_{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$ de rayon $R>0$. Les conditions initiales imposent $a_0=y(0)=1$ et $a_1=y^{\prime }(0)=0$. Pour tout $x\in ]-R,R[$ : $$y^{\prime \prime }(x)=\sum _{n=2}^{+\infty }n(n-1)a_n{x}^{n-2}=\sum _{k=0}^{+\infty }(k+2)(k+1)a_{k+2}{x}^k.$$ $$xy(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^{n+1}=\sum _{k=1}^{+\infty }{a}_{k-1}{x}^k.$$ En injectant dans l'équation différentielle $y^{\prime \prime }-xy=0$ : $$2a_2+\sum _{k=1}^{+\infty }\left[(k+2)(k+1)a_{k+2}-a_{k-1}\right]x^k=0.$$ Par unicité des coefficients d'une série entière :

• Pour $k=0$ : $2a_2=0⟹a_2=0$.
• Pour tout $k\ge 1$ : $(k+2)(k+1)a_{k+2}=a_{k-1}⟺a_n=\frac{a_{n-3}}{n(n-1)}$ pour tout $n\ge 3$.

Comme $a_1=0$ et $a_2=0$, tous les coefficients $a_{3p+1}$ et $a_{3p+2}$ sont nuls. Pour les termes d'indices multiples de 3 ($n=3p$) : $$a_{3p}=\frac{a_{3p-3}}{3p(3p-1)}=\frac{a_0}{{\prod }_{j=1}^{p}3j(3j-1)}=\frac{1}{{\prod }_{j=1}^{p}3j(3j-1)}.$$ La série est lacunaire : d'Alembert ne s'applique donc pas directement aux $a_n$, il faut d'abord poser $u=x^3$ et travailler sur $b_p=a_{3p}$, comme annoncé plus haut. On obtient $\frac{b_{p+1}}{b_p}=\frac{a_{3p+3}}{a_{3p}}=\frac{1}{(3p+3)(3p+2)}\underset{p\to +\infty }{\to }0$, donc la série en $u$ a un rayon infini, et celle en $x$ aussi : $R=+\infty$. La solution unique est la fonction d'Airy $y(x)=1+{\sum }_{p=1}^{+\infty }\frac{x^{3p}}{{\prod }_{j=1}^{p}3j(3j-1)}$, définie sur $\mathbb{R}$ tout entier.