Somme de la série $\sum n^2{x}^n$ pour $|x|<1$

Stratégie : ne pas « dériver deux fois à vue ». Écrire $n^2=n(n-1)+n$ fait apparaître exactement les deux dérivées successives de la géométrique, chacune avec le décalage d'indices qui lui convient — et supprime toute chance d'erreur de bornes de sommation.

1. Rayon de convergence. Ici $a_n=n^2$, non nul pour $n\ge 1$, et $$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\underset{n\to +\infty }{\to }1.$$ Par la règle de d'Alembert appliquée au calcul du rayon, $R=1$. La série converge (absolument) sur $]-1,1[$ et diverge grossièrement en $x=\pm 1$, où $n^2{x}^n$ ne tend pas vers $0$.

2. Les deux briques. Sur $]-1,1[$, $\sum _{n\ge 0}{x}^n=\frac{1}{1-x}$. Le théorème de dérivation terme à terme d'une série entière — valable sur tout l'intervalle ouvert de convergence, sans changement de rayon — s'applique autant de fois qu'on veut : $$\sum _{n\ge 1}n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2},\sum _{n\ge 2}n(n-1)x^{n-2}=\frac{2}{(1-x{)}^3}.$$ On multiplie alors par $x$, puis par $x^2$, pour ramener les exposants à $x^n$ : $$\sum _{n\ge 1}n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2},\sum _{n\ge 2}n(n-1)x^n=\frac{2x^2}{(1-x{)}^3}.$$ (C'est ici qu'on gagne : plutôt que de « décaler mentalement » les indices, on décale la variable.)

3. Recombinaison. Pour $n\ge 1$, $n^2=n(n-1)+n$ ; et le terme d'indice $n=1$ de $\sum n(n-1)x^n$ est nul, de sorte qu'on peut sommer à partir de $1$ ou de $2$ indifféremment. Les deux séries ayant le même rayon $1$, on peut les additionner sur $]-1,1[$ : $$\sum _{n\ge 1}{n}^2{x}^n=\sum _{n\ge 1}n(n-1)x^n+\sum _{n\ge 1}n{x}^n=\frac{2x^2}{(1-x{)}^3}+\frac{x}{(1-x{)}^2}.$$ On réduit au dénominateur commun $(1-x{)}^3$ : $$\frac{2x^2+x(1-x)}{(1-x{)}^3}=\frac{2x^2+x-x^2}{(1-x{)}^3}=\frac{x^2+x}{(1-x{)}^3},$$ soit $$\boxed{\sum _{n=1}^{+\infty }{n}^2{x}^n=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}(|x|<1).}$$

4. Le point délicat. Deux erreurs guettent.

• Croire qu'il faut revérifier le rayon après dérivation. Non : le théorème affirme que la série dérivée a le même rayon. C'est un énoncé du cours ($R\left(\sum a_n{x}^n\right)=R\left(\sum n{a}_n{x}^{n-1}\right)$), pas une vérification à refaire.
• Confondre $\sum n(n-1)x^{n-2}$ et $\sum n(n-1)x^n$. Le premier commence à $n=2$ et vaut $\frac{2}{(1-x{)}^3}$ ; c'est en multipliant par $x^2$ qu'on obtient le second. Écrire directement $\sum n(n-1)x^n=\frac{2}{(1-x{)}^3}$ est l'erreur la plus fréquente sur cet exercice.

5. Vérification par le début du développement. $(1-x{)}^{-3}={\sum }_{n\ge 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{2})x^n=1+3x+6x^2+\cdots$, donc $$x(1+x)\left(1+3x+6x^2+\cdots \right)=(x+x^2)(1+3x+6x^2+\cdots )=x+4x^2+9x^3+\cdots$$ et l'on retrouve bien $1^2$, $2^2$, $3^2$ comme coefficients. (Une vérification à faire systématiquement : les trois premiers coefficients coûtent trente secondes et attrapent la quasi-totalité des fautes de calcul.)

Contrôle chiffré. Somme des $200$ premiers termes contre la formule fermée :

$x$	${\sum }_{n=1}^{200}{n}^2{x}^n$	$\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$
$0,3$	$1,137026239067$	$1,137026239067$
$0,5$	$6,000000000000$	$6$ (exactement)
$0,9$	$1710,000000000$	$1710$ (exactement)
$-0,7$	$-0,042743741095$	$-0,042743741095$

Les deux valeurs exactes se vérifient à la main : en $x=\frac{1}{2}$, $\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=\frac{3/4}{1/8}=6$ ; en $x=\frac{9}{10}$, $\frac{\frac{9}{10}\cdot \frac{19}{10}}{{\left(\frac{1}{10}\right)}^3}=\frac{171/100}{1/1000}=1710$.

Acquis. Toutes les sommes $\sum P(n)x^n$ avec $P$ polynomial se calculent ainsi : décomposer $P(n)$ sur la base des $n(n-1)\cdots (n-k+1)$ (les « factorielles descendantes »), qui sont exactement les coefficients produits par les dérivées successives de $\frac{1}{1-x}$. C'est aussi le calcul qui donnera $E(X)$ et $V(X)$ à partir d'une fonction génératrice, en probabilités.