Ce que l'intégrabilité ne dit pas

La question commune. Une fonction intégrable a une queue d'aire petite : ${\int }_x^{+\infty }|f|\to 0$. Cette petitesse en moyenne passe-t-elle aux valeurs de $f$ ? Pas sans une hypothèse de régularité — décroissance en a), caractère lipschitzien en c) —, et b) montre ce qui arrive sans elle.

a) La décroissance force $xf(x)\to 0$. On minore la valeur $f(x)$ par une aire, sur un intervalle dont la longueur croît avec $x$ : c'est ce facteur de longueur qui fabriquera le $x$ de $xf(x)$. Soit $x\ge 2$ ; alors $\left[\frac{x}{2},x\right]\subset [1,+\infty [$ et, par décroissance, $f(t)\ge f(x)\ge 0$ sur cet intervalle de longueur $\frac{x}{2}$ : $$0\le \frac{x}{2}f(x)\le {\int }_{x/2}^{x}f(t)\mathrm{d}t=\Phi (x)-\Phi \left(\frac{x}{2}\right),\text{ouˋ }\Phi (y)={\int }_1^{y}f.$$ $f$ étant intégrable, $\Phi$ a une limite finie $L$ en $+\infty$, et $\frac{x}{2}\to +\infty$ avec $x$ : le membre de droite tend vers $L-L=0$. Par encadrement, $xf(x)\to 0$, c'est-à-dire $f(x)=o\left(\frac{1}{x}\right)$.

Le point délicat. Avec un intervalle de longueur fixe, $[x-1,x]$, on n'obtiendrait que $f(x)\to 0$. Et l'on ne peut pas espérer une puissance de plus : sur $[2,+\infty [$, $t\mapsto \frac{1}{t(\ln t{)}^2}$ est positive, décroissante, intégrable (de primitive $-\frac{1}{\ln t}$, qui a une limite finie en $+\infty$), et $\frac{t}{t(\ln t{)}^2}=\frac{1}{(\ln t{)}^2}$ tend vers $0$ plus lentement que toute puissance de $\frac{1}{t}$.

b) Des bosses de plus en plus fines. Pour $n\ge 1$, soit $g_n$ la fonction affine par morceaux, nulle hors de $\left[n-2^{-n-1},n+2^{-n-1}\right]$, valant $1$ en $n$ et $0$ aux extrémités : un triangle de hauteur $1$ et de base $2^{-n}$. Les demi-bases valent au plus $\frac{1}{4}$ : les supports sont deux à deux disjoints et inclus dans $[0,+\infty [$. On pose $f={\sum }_{n\ge 1}{g}_n$ ; sur tout segment $[0,A]$, seuls les $g_n$ d'indice $n\le A+1$ interviennent, donc $f$ y est une somme finie de fonctions continues : $f$ est continue et positive.

• Intégrable : le $n$-ième triangle a pour aire $\frac{1}{2}\cdot 2^{-n}=2^{-n-1}$, donc ${\int }_0^{x}f\le {\sum }_{n\ge 1}{2}^{-n-1}=\frac{1}{2}$ pour tout $x$ ; la fonction croissante $x\mapsto {\int }_0^{x}f$ est majorée, et ${\int }_0^{+\infty }f=\frac{1}{2}$.
• Sans limite nulle : $f(n)=1$ pour tout entier $n\ge 1$.

L'aire totale est finie, et pourtant $f$ reprend la valeur $1$ arbitrairement loin : l'intégrabilité ne dit rien de la limite ponctuelle.

c) Une hypothèse lipschitzienne suffit. On compare la valeur $f(t)$ à la moyenne de $|f|$ sur une fenêtre $[t,t+h]$ : la moyenne est petite parce que la queue d'intégrale l'est, et l'écart entre valeur et moyenne est contrôlé par la constante de Lipschitz. Pour $s\in [t,t+h]$, $|f(t)|\le |f(s)|+K(s-t)$ ; en intégrant en $s$ sur $[t,t+h]$, puis en divisant par $h$, $$|f(t)|\le \frac{1}{h}{\int }_t^{t+h}|f(s)|\mathrm{d}s+\frac{Kh}{2}\le \frac{1}{h}{\int }_t^{+\infty }|f(s)|\mathrm{d}s+\frac{Kh}{2}.$$ Soit $\epsilon >0$. On choisit d'abord $h=\frac{\epsilon }{K}$, de sorte que $\frac{Kh}{2}=\frac{\epsilon }{2}$. Puis, ${\int }_t^{+\infty }|f|$ tendant vers $0$, il existe $A$ tel que ${\int }_t^{+\infty }|f|\le \frac{h\epsilon }{2}$ pour $t\ge A$. Alors $|f(t)|\le \epsilon$ pour tout $t\ge A$ : $f(t)\to 0$.

Le point délicat est l'ordre des choix : la largeur $h$ est fixée avant de faire tendre $t$ vers l'infini, en fonction de $\epsilon$ seulement.

La fonction de b) n'est pas lipschitzienne : le $n$-ième triangle monte de $0$ à $1$ sur une longueur $2^{-n-1}$, avec une pente $2^{n+1}$ non bornée. C'est l'hypothèse qui manque. (Une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ de dérivée bornée par $K$ est $K$-lipschitzienne, par l'inégalité des accroissements finis : c) vaut pour tout signal intégrable dont la vitesse de variation est bornée.)

d) L'intégrale nulle d'une fonction continue positive. Par contraposée : supposons $f(t_0)>0$ pour un $t_0\in I$. Par continuité en $t_0$, il existe un segment $[\alpha ,\beta ]\subset I$, avec $\alpha <\beta$, contenant $t_0$ (pris d'un seul côté si $t_0$ est une extrémité de $I$), sur lequel $f\ge \frac{f(t_0)}{2}$. Par positivité de $f$ et relation de Chasles, $${\int }_{I}f\ge {\int }_{\alpha }^{\beta }f\ge (\beta -\alpha )\frac{f(t_0)}{2}>0.$$ Donc, si ${\int }_{I}f=0$, $f$ est nulle en tout point. Aucune contradiction avec b) : la fonction de b) est d'intégrale $\frac{1}{2}$, pas $0$, et ce résultat porte sur l'intégrale entière, pas sur le comportement à l'infini. Sa seule hypothèse de régularité est la continuité : sans elle, une fonction nulle sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle.

Ce que l'exercice installe. L'intégrabilité est une information en moyenne ; pour qu'elle devienne ponctuelle, il faut une hypothèse de régularité, et l'on compare une valeur à une moyenne sur une fenêtre bien choisie. Le contre-exemple des bosses est à connaître. Et d) fait de $(f,g)\mapsto {\int }_{I}fg$ un produit scalaire sur les fonctions continues, celui que la physique utilise pour décomposer un signal sur des modes orthogonaux.