mathématiques (PC) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Ce que l'intégrabilité ne dit pas

Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · A. Nature et intégrabilité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Soit $f$ positive, décroissante et intégrable sur $[1, + \infty [$ . Montrer que $\frac{x}{2} f (x) \leq \int_{x /2}^{x} f (t) d t$ pour tout $x \geq 2$ , et en déduire que $x f (x) \to 0$ quand $x \to + \infty$ .

b) Construire une fonction continue, positive et intégrable sur $[0, + \infty [$ qui ne tend pas vers $0$ en $+ \infty$ (des bosses triangulaires de hauteur $1$ et de base $2^{- n}$ , centrées en chaque entier $n \geq 1$ ).

c) Soit $f$ intégrable sur $[0, + \infty [$ et $K$ -lipschitzienne, avec $K > 0$ . Montrer que $f (t) \to 0$ quand $t \to + \infty$ . Laquelle des hypothèses la fonction de la question b) viole-t-elle ?

d) Soit $f$ continue, positive et intégrable sur un intervalle $I$ non réduit à un point, avec $\int_{I} f = 0$ . Montrer que $f$ est identiquement nulle. Pourquoi ce résultat ne contredit-il pas la question b) ?

Corrigé de la question 1

La question commune. Une fonction intégrable a une queue d'aire petite : $\int_{x}^{+ \infty} ∣ f ∣ \to 0$ . Cette petitesse en moyenne passe-t-elle aux valeurs de $f$ ? Pas sans une hypothèse de régularité — décroissance en a), caractère lipschitzien en c) —, et b) montre ce qui arrive sans elle.

a) La décroissance force $x f (x) \to 0$ . On minore la valeur $f (x)$ par une aire, sur un intervalle dont la longueur croît avec $x$ : c'est ce facteur de longueur qui fabriquera le $x$ de $x f (x)$ . Soit $x \geq 2$ ; alors $[\frac{x}{2}, x] \subset [1, + \infty [$ et, par décroissance, $f (t) \geq f (x) \geq 0$ sur cet intervalle de longueur $\frac{x}{2}$ : $0 \leq \frac{x}{2} f (x) \leq \int_{x /2}^{x} f (t) d t = Φ (x) - Φ (\frac{x}{2}), o u ˋ Φ (y) = \int_{1}^{y} f .$ $f$ étant intégrable, $Φ$ a une limite finie $L$ en $+ \infty$ , et $\frac{x}{2} \to + \infty$ avec $x$ : le membre de droite tend vers $L - L = 0$ . Par encadrement, $x f (x) \to 0$ , c'est-à-dire $f (x) = o (\frac{1}{x})$ .

Le point délicat. Avec un intervalle de longueur fixe, $[x - 1, x]$ , on n'obtiendrait que $f (x) \to 0$ . Et l'on ne peut pas espérer une puissance de plus : sur $[2, + \infty [$ , $t \mapsto \frac{1}{t ( l n t ) ^{2}}$ est positive, décroissante, intégrable (de primitive $- \frac{1}{l n t}$ , qui a une limite finie en $+ \infty$ ), et $\frac{t}{t ( l n t ) ^{2}} = \frac{1}{( l n t ) ^{2}}$ tend vers $0$ plus lentement que toute puissance de $\frac{1}{t}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

La construction est suggérée par l'énoncé. Mais $f = \sum g_{n}$ est une somme d'une infinité de fonctions : comment justifier qu'elle est continue sans convergence uniforme ?

Regarde les supports des $g_{n}$ : peuvent-ils se chevaucher ? Et sur un segment $[0, A]$ , combien de $g_{n}$ ne sont pas identiquement nulles ?

Élève

Les demi-bases valent au plus $\frac{1}{4}$ , donc les supports sont disjoints, et sur $[0, A]$ seules les $g_{n}$ d'indice $n \leq A + 1$ interviennent : $f$ y est une somme finie de fonctions continues.

Pour l'intégrabilité, quelle est l'aire du $n$ -ième triangle, et comment majorer $\int_{0}^{x} f$ indépendamment de $x$ ? Pourquoi cette majoration suffit-elle pour une fonction positive ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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