Convergente sans être intégrable : le sinus cardinal

Ce que l'exercice fait, et ce qu'il ne fait pas. Le programme de PC le dit expressément : l'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme. On ne calcule donc pas ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$. Mais le cours pose deux définitions — intégrale convergente, fonction intégrable —, et le sinus cardinal est l'exemple qui les sépare.

a) La convergence, par intégration par parties. Comme $\sin t\sim t$ en $0$, $\frac{\sin t}{t}\to 1$ : prolongée par $1$ en $0$, la fonction est continue sur $[0,+\infty [$, et seule la borne $+\infty$ est à étudier. Pour $x>1$, l'intégration par parties sur le segment $[1,x]$, avec $u(t)=\frac{1}{t}$ et $v(t)=-\cos t$, donne $${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t=[-\frac{\cos t}{t}{]}_1^x-{\int }_1^x\frac{\cos t}{t^2}\mathrm{d}t=\cos 1-\frac{\cos x}{x}-{\int }_1^x\frac{\cos t}{t^2}\mathrm{d}t.$$ Quand $x\to +\infty$ : $\left|\frac{\cos x}{x}\right|\le \frac{1}{x}\to 0$ ; et $\left|\frac{\cos t}{t^2}\right|\le \frac{1}{t^2}$, intégrable sur $[1,+\infty [$, donc $t\mapsto \frac{\cos t}{t^2}$ est intégrable et son intégrale sur $[1,x]$ a une limite finie. Ainsi ${\int }_1^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ a une limite finie : l'intégrale converge. L'intégration par parties a transféré l'oscillation sur $\cos t$ et fait gagner un facteur $\frac{1}{t}$ ; la convergence ne tient qu'aux compensations entre arches positives et négatives du sinus.

b) La non-intégrabilité. Soit $k\in \mathbb{N}$. Pour $t\in \left]k\pi ,(k+1)\pi \right]$, $t\le (k+1)\pi$, donc $\frac{|\sin t|}{t}\ge \frac{|\sin t|}{(k+1)\pi }$ ; et l'aire d'une arche de sinusoïde vaut ${\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }|\sin t|\mathrm{d}t=2$. D'où la minoration annoncée, et, en sommant de $k=0$ à $N-1$ par la relation de Chasles, $${\int }_0^{N\pi }\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t\ge \frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^N\frac{1}{k},$$ qui tend vers $+\infty$ avec $N$ : la série harmonique diverge. La fonction croissante $x\mapsto {\int }_0^x\frac{|\sin t|}{t}\mathrm{d}t$ n'est pas majorée : $t\mapsto \frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable sur $]0,+\infty [$. (Contrôle : l'intégrale jusqu'à $100\pi$ vaut $4,77$, pour un minorant $3,30$ ; jusqu'à $1000\pi$, $6,24$ — une croissance logarithmique, sans limite.)

Pourquoi la comparaison ne pouvait pas conclure. Les règles de comparaison portent sur des fonctions positives : appliquées à $\left|\frac{\sin t}{t}\right|$, elles ne pourraient conclure qu'à l'intégrabilité, qui est fausse. Seule l'intégration par parties exploite les compensations de signe.

c) Le carré, lui, est intégrable. $\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\to 1$ en $0$, et $0\le \frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\le \frac{1}{t^2}$ pour $t\ge 1$ : la fonction est intégrable sur $]0,+\infty [$. On intègre par parties sur $]0,+\infty [$ avec $u(t)={\sin }^{2}t$ et $v(t)=-\frac{1}{t}$ : $u{v}^{\prime }=\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}$ et $u^{\prime }v=-\frac{2\sin t\cos t}{t}=-\frac{\sin (2t)}{t}$. Le produit $uv(t)=-\frac{{\sin }^{2}t}{t}$ tend vers $0$ en $0^{+}$ (car ${\sin }^{2}t\sim t^2$) et en $+\infty$ (il est majoré par $\frac{1}{t}$). Les deux intégrales sont donc de même nature, et $${\int }_0^{+\infty }\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\mathrm{d}t=[-\frac{{\sin }^{2}t}{t}{]}_0^{+\infty }+{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (2t)}{t}\mathrm{d}t={\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (2t)}{t}\mathrm{d}t.$$ Le changement de variable $u=2t$ transforme $\frac{\sin (2t)}{t}\mathrm{d}t$ en $\frac{\sin u}{u/2}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{2}=\frac{\sin u}{u}\mathrm{d}u$, d'où l'égalité. (Contrôle : les deux valent $1,5708\dots$, soit $\frac{\pi }{2}$, valeur que le programme ne demande pas d'établir.)

La diffraction. L'amplitude $\frac{\sin u}{u}$ n'est pas intégrable ; l'intensité $\frac{{\sin }^{2}u}{u^2}$, qui mesure l'énergie reçue, l'est : l'énergie totale diffractée est finie. C'est la grandeur physique pertinente, l'énergie, qui est intégrable.

d) Où s'arrêtent les théorèmes. Soit $h(x,t)=\frac{\sin t}{t}{e}^{-xt}$, prolongée par $h(x,0)=1$. Comme $|\sin t|\le t$ pour $t\ge 0$, on a $|h(x,t)|\le e^{-xt}$.

Définition et continuité. Pour $x>0$, $t\mapsto e^{-xt}$ est intégrable, donc $F(x)$ existe. Sur un segment $[a,b]\subset ]0,+\infty [$, $|h(x,t)|\le e^{-at}$ pour tout $x\in [a,b]$ : une dominante intégrable indépendante de $x$. Comme $x\mapsto h(x,t)$ est continue, le théorème de continuité sous le signe intégral donne la continuité de $F$ sur tout $[a,b]$, donc sur $]0,+\infty [$.

Pas de domination jusqu'en $0$. Supposons qu'une $\phi$ intégrable vérifie $\left|\frac{\sin t}{t}\right|e^{-xt}\le \phi (t)$ pour tout $x\in \left]0,1\right]$ et tout $t>0$. À $t$ fixé, faisons tendre $x$ vers $0^{+}$ : $\left|\frac{\sin t}{t}\right|\le \phi (t)$, et, par comparaison, $\frac{\sin t}{t}$ serait intégrable, ce que b) interdit. Aucune domination n'existe sur $\left]0,1\right]$.

Ni le théorème de continuité ni celui de convergence dominée ne permettent donc de passer à la limite quand $x\to 0^{+}$. Le résultat n'est pas faux — on peut établir par d'autres moyens que $F(x)$ tend vers l'intégrale de la question a) —, mais les outils du chapitre s'arrêtent là où s'arrête l'intégrabilité.

Ce que l'exercice installe. Une intégrale converge quand ${\int }_a^{x}f$ a une limite finie ; une fonction est intégrable quand $\int |f|$ converge. La seconde entraîne la première, pas l'inverse, et seule la seconde ouvre les théorèmes du chapitre. Le programme de PC ne fait pas des intégrales semi-convergentes un objet d'étude : il suffit de les reconnaître, et de savoir qu'aucun théorème du cours ne s'y applique.