mathématiques (PC) · Chapitre 9 · Exercice classique

$Γ$ est $C^{\infty}$ et strictement convexe

Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Montrer que $Γ$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] 0, + \infty [$ avec $Γ^{(k)} (x) = \int_{0}^{+ \infty} (ln t)^{k} t^{x - 1} e^{- t} d t$ , et que $Γ$ est strictement convexe (extension $C^{k}$ : sur $[a, b] \subset] 0, \infty [$ , dominer $∣ ln t ∣^{k} t^{x - 1} e^{- t}$ par $∣ ln t ∣^{k} (t^{a - 1} + t^{b - 1}) e^{- t}$ , intégrable ; $Γ^{''} = \int (ln t)^{2} t^{x - 1} e^{- t} > 0$ ).

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.

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Γ est C∞ et strictement convexe

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