Intégrabilité par comparaison

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PC), chapitre 9 — Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Montrer que $t \mapsto \frac{ln t}{t ^{2}}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ et calculer son intégrale.

Corrigé

Intégrabilité : $\frac{l n t}{t ^{2}} = \frac{1}{t ^{3/2}} \cdot \frac{l n t}{t} = o (\frac{1}{t ^{3/2}})$ en $+ \infty$ (croissances comparées), et $\frac{1}{t ^{3/2}}$ est intégrable (Riemann $\frac{3}{2} > 1$ ). Calcul par parties (crochet $[- \frac{l n t}{t}]_{1}^{+ \infty} = 0$ , limites finies) : $\int_{1}^{+ \infty} \frac{ln t}{t ^{2}} d t = 0 + \int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}} = 1.$ (Le couple type : comparaison pour la nature, IPP pour la valeur.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.