Intégrer terme à terme : le rayonnement du corps noir

La stratégie. $\frac{t^k}{e^t-1}$ n'a pas de primitive usuelle ; mais $\frac{1}{e^t-1}$ est la somme d'une série géométrique de raison $e^{-t}$, et chaque terme $t^k{e}^{-nt}$ s'intègre exactement. L'échange de la somme et de l'intégrale se justifie par le théorème d'intégration terme à terme, dont l'hypothèse porte sur la série des $\int |u_n|$.

a) La brique. Soit $J_k={\int }_0^{+\infty }{u}^k{e}^{-u}\mathrm{d}u$ ; l'intégrande est continu sur $[0,+\infty [$ et $o\left(\frac{1}{u^2}\right)$ en $+\infty$ : $J_k$ converge, et $J_0=1$. Pour $k\ge 1$, l'intégration par parties, de crochet ${\left[-u^k{e}^{-u}\right]}_0^{+\infty }=0$ (nul en $0$ car $k\ge 1$, de limite nulle en $+\infty$), donne $$J_k=[-u^k{e}^{-u}{]}_0^{+\infty }+k{\int }_0^{+\infty }{u}^{k-1}{e}^{-u}\mathrm{d}u=k{J}_{k-1}.$$ Par récurrence, $J_k=k!$ : $J_0=0!$, et si $J_{k-1}=(k-1)!$, alors $J_k=k(k-1)!=k!$. Le changement de variable $u=nt$ donne enfin ${\int }_0^{+\infty }{t}^k{e}^{-nt}\mathrm{d}t=\frac{1}{n^{k+1}}{J}_k=\frac{k!}{n^{k+1}}$.

b) L'intégration terme à terme.

Intégrabilité. $S:t\mapsto \frac{t^k}{e^t-1}$ est continue et positive sur $]0,+\infty [$. En $0$, $e^t-1\sim t$, donc $S(t)\sim t^{k-1}$, qui a une limite finie ($1$ si $k=1$, $0$ sinon) : faux problème. En $+\infty$, $S(t)\sim t^k{e}^{-t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$. Donc $S$ est intégrable sur $]0,+\infty [$.

Le développement. Pour $t>0$, $0<e^{-t}<1$, et la série géométrique donne $$\frac{1}{e^t-1}=\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}}=\sum _{n=1}^{+\infty }{e}^{-nt},$$ donc $S(t)={\sum }_{n\ge 1}{u}_n(t)$, avec $u_n(t)=t^k{e}^{-nt}$.

Les hypothèses, une par une.

• Chaque $u_n$ est continue et intégrable sur $]0,+\infty [$ (question a).
• La série $\sum u_n$ converge simplement sur $]0,+\infty [$, de somme $S$ continue.
• Les $u_n$ étant positives, ${\int }_0^{+\infty }|u_n|=\frac{k!}{n^{k+1}}$, et ${\sum }_{n\ge 1}\frac{k!}{n^{k+1}}=k!\zeta (k+1)$ est finie, puisque $k+1\ge 2$ (série de Riemann).

Le théorème d'intégration terme à terme s'applique : $${\int }_0^{+\infty }\frac{t^k}{e^t-1}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\infty }{\int }_0^{+\infty }{t}^k{e}^{-nt}\mathrm{d}t=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{k!}{n^{k+1}}=k!\zeta (k+1).$$ Pour $k=1$ : $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}=1,644934\dots$ ; pour $k=3$ : $6\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{15}=6,493939\dots$ ; une quadrature numérique rend les deux valeurs.

Le point délicat. Le programme de PC ne connaît qu'une version du théorème d'intégration terme à terme, celle qui exige la convergence de la série des $\int |u_n|$. La positivité des $u_n$ ne dispense pas de cette hypothèse ; elle rend seulement sa vérification immédiate. L'exercice suivant montre ce qui arrive quand cette série diverge.

c) La loi de Stefan. Le changement de variable $x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$, linéaire et croissant, donne $\mathrm{d}\nu =\frac{k_{B}T}{h}\mathrm{d}x$ et $${\int }_0^{+\infty }{u}_{\nu }(T)\mathrm{d}\nu =\frac{8\pi h}{c^3}{\left(\frac{k_{B}T}{h}\right)}^4{\int }_0^{+\infty }\frac{x^3}{e^x-1}\mathrm{d}x=\frac{8\pi k_B^4{T}^4}{h^3{c}^3}\cdot \frac{{\pi }^4}{15}=a{T}^4.$$ Numériquement, $a=7,566\cdot 10^{-16}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-4}$, et la constante de Stefan $\sigma =\frac{ac}{4}=5,670\cdot 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}{\mathrm{K}}^{-4}$ est bien la valeur tabulée.

La loi de Wien. La fonction $w:x\mapsto \frac{x^3}{e^x-1}$ a pour dérivée $$w^{\prime }(x)=\frac{x^2{e}^x\left(3(1-e^{-x})-x\right)}{(e^x-1{)}^2}.$$ La fonction $\ell :x\mapsto 3(1-e^{-x})-x$, nulle en $0$, de dérivée $3e^{-x}-1$, croît sur $[0,\ln 3]$ puis décroît strictement vers $-\infty$ : elle s'annule une seule fois sur $]0,+\infty [$, en $x_m=2,8214\dots$, où $w$ passe de croissante à décroissante. Le maximum de $u_{\nu }$ est donc atteint pour ${\nu }_{\max }=x_m\frac{k_{B}T}{h}$, proportionnelle à $T$ : c'est la loi de Wien.

d) Le rêve de l'étudiant. Sur $]0,1[$, $-t\ln t$ est positif, de maximum $\frac{1}{e}$ ; donc $1\le t^{-t}\le e^{1/e}$ : la fonction, continue et bornée sur un intervalle borné, est intégrable. La série exponentielle donne $t^{-t}={\sum }_{n\ge 0}{v}_n(t)$, avec $v_n(t)=\frac{t^n(-\ln t{)}^n}{n!}\ge 0$. Pour calculer ${\int }_0^1{v}_n$, on pose $t=e^{-u/(n+1)}$, bijection strictement décroissante de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $]0,+\infty [$ sur $]0,1[$, avec $\mathrm{d}t=-\frac{1}{n+1}{e}^{-u/(n+1)}\mathrm{d}u$, $t^n=e^{-nu/(n+1)}$ et $(-\ln t{)}^n=\frac{u^n}{(n+1{)}^n}$ : $${\int }_0^1{t}^n(-\ln t{)}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}{\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-\frac{nu}{n+1}}{e}^{-\frac{u}{n+1}}\mathrm{d}u=\frac{n!}{(n+1{)}^{n+1}},$$ les deux exponentielles se recollant en $e^{-u}$ — c'est tout l'intérêt du facteur $n+1$ —, et la brique de la question a) donnant ${\int }_0^{+\infty }{u}^n{e}^{-u}\mathrm{d}u=n!$. Ainsi ${\int }_0^1|v_n|=\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}$, terme d'une série convergente, puisque $(n+1{)}^{n+1}\ge 2^{n+1}$ pour $n\ge 1$ ; la somme $t\mapsto t^{-t}$ est continue. Le théorème d'intégration terme à terme donne $${\int }_0^1{t}^{-t}\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(n+1{)}^{n+1}}=\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{1}{m^m}=1,2912859970\dots$$ (Contrôle : quatre termes, $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{27}+\frac{1}{256}$, sont déjà à moins de $4\cdot 10^{-4}$ de la valeur.)

Ce que l'exercice installe. Le schéma de l'intégration terme à terme : développer l'intégrande en série, calculer les $\int |u_n|$, vérifier que leur série converge, conclure. En physique, c'est le calcul qui fait passer de la loi de Planck, énoncée fréquence par fréquence, à la loi de Stefan, qui en est la somme ; la même intégrale gouverne l'énergie des vibrations d'un solide à basse température (modèle de Debye). Le TD 11 obtient l'énergie moyenne d'un mode ; ici, on a sommé sur tous les modes.