mathématiques (PC) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Intégrer terme à terme : le rayonnement du corps noir

Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · C. Convergence dominée et intégration terme à terme · niveau 2

Énoncé

a) Pour $k \in N$ et $n \geq 1$ , montrer que $\int_{0}^{+ \infty} t^{k} e^{- n t} d t = \frac{k !}{n ^{k + 1}}$ .

b) Pour $k \geq 1$ , montrer que $t \mapsto \frac{t ^{k}}{e ^{t} - 1}$ est intégrable sur $] 0, + \infty [$ ; puis, en développant $\frac{1}{e ^{t} - 1}$ en série géométrique et en vérifiant les hypothèses du théorème d'intégration terme à terme, montrer que $\int_{0}^{+ \infty} \frac{t ^{k}}{e ^{t} - 1} d t = k! ζ (k + 1),$ où $ζ (s) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{n ^{s}}$ pour $s > 1$ . Donner les valeurs pour $k = 1$ et $k = 3$ , sachant que $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ et $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}$ (problème du TD 7).

c) (Loi de Stefan.) La loi de Planck donne la densité volumique d'énergie du rayonnement d'équilibre à la température $T$ , par unité de fréquence : $u_{ν} (T) = \frac{8 π h ν ^{3}}{c ^{3}} \cdot \frac{1}{e ^{h ν / (k_{B} T)} - 1} .$ Montrer que la densité d'énergie totale $\int_{0}^{+ \infty} u_{ν} (T) d ν$ vaut $a T^{4}$ , avec $a = \frac{8 π ^{5} k _{B}^{4}}{15 h ^{3} c ^{3}}$ . Où la fonction $x \mapsto \frac{x ^{3}}{e ^{x} - 1}$ atteint-elle son maximum, et qu'en déduit-on (loi de Wien) ?

d) (Le « rêve de l'étudiant ».) Par le même geste, avec la série exponentielle de $t^{- t} = e^{- t l n t}$ , montrer que $\int_{0}^{1} t^{- t} d t = n = 1 \sum + \infty \frac{1}{n ^{n}}$ (pour calculer $\int_{0}^{1} t^{n} (- ln t)^{n} d t$ , poser $t = e^{- u / (n + 1)}$ ).

Corrigé de la question 1

La stratégie. $\frac{t ^{k}}{e ^{t} - 1}$ n'a pas de primitive usuelle ; mais $\frac{1}{e ^{t} - 1}$ est la somme d'une série géométrique de raison $e^{- t}$ , et chaque terme $t^{k} e^{- n t}$ s'intègre exactement. L'échange de la somme et de l'intégrale se justifie par le théorème d'intégration terme à terme, dont l'hypothèse porte sur la série des $\int ∣ u_{n} ∣$ .

a) La brique. Soit $J_{k} = \int_{0}^{+ \infty} u^{k} e^{- u} d u$ ; l'intégrande est continu sur $[0, + \infty [$ et $o (\frac{1}{u ^{2}})$ en $+ \infty$ : $J_{k}$ converge, et $J_{0} = 1$ . Pour $k \geq 1$ , l'intégration par parties, de crochet $[- u^{k} e^{- u}]_{0}^{+ \infty} = 0$ (nul en $0$ car $k \geq 1$ , de limite nulle en $+ \infty$ ), donne $J_{k} = [- u^{k} e^{- u}]_{0}^{+ \infty} + k \int_{0}^{+ \infty} u^{k - 1} e^{- u} d u = k J_{k - 1} .$ Par récurrence, $J_{k} = k!$ : $J_{0} = 0!$ , et si $J_{k - 1} = (k - 1)!$ , alors $J_{k} = k (k - 1)! = k!$ . Le changement de variable $u = n t$ donne enfin $\int_{0}^{+ \infty} t^{k} e^{- n t} d t = \frac{1}{n ^{k + 1}} J_{k} = \frac{k !}{n ^{k + 1}}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'écris $\frac{1}{e ^{t} - 1} = \sum_{n \geq 0} e^{- n t}$ par la série géométrique, puis j'intègre terme à terme avec le a). Mais pour $n = 0$ , le a) ne s'applique pas et $\int_{0}^{+ \infty} t^{k} d t$ diverge : où est l'erreur ?

Regarde ta série géométrique : $\sum_{n \geq 0} e^{- n t}$ a pour somme $\frac{1}{1 - e ^{- t}}$ . Est-ce bien $\frac{1}{e ^{t} - 1}$ ? Que faut-il factoriser au dénominateur pour faire apparaître la bonne série ?

Élève

Non : $\frac{1}{e ^{t} - 1} = \frac{e ^{- t}}{1 - e ^{- t}}$ , donc la somme commence à $n = 1$ , et chaque terme $t^{k} e^{- n t}$ relève alors du a).

Avant d'échanger somme et intégrale, quelle hypothèse le théorème d'intégration terme à terme exige-t-il sur la série des $\int_{0}^{+ \infty} ∣ u_{n} ∣$ , et pourquoi est-elle satisfaite ici ? Et comment justifies-tu l'intégrabilité de $\frac{t ^{k}}{e ^{t} - 1}$ au voisinage de $0$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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