L'échelle de Riemann complète

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PC), chapitre 9 — Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · Niveau ★ — application directe du cours

Énoncé

Donner la nature de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ , de $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{α}}$ et de $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}}$ selon $α \in R$ .

Corrigé

Calcul direct des intégrales partielles (cours) : en $+ \infty$ , convergence si et seulement si $α > 1$ ; en $0$ , si et seulement si $α < 1$ ( $u = 1/ t$ échange d'ailleurs les deux situations). Pour $\int_{0}^{+ \infty}$ il faudrait simultanément $α > 1$ et $α < 1$ : l'intégrale ne converge pour aucun $α$ . Moralité : les deux moitiés de l'échelle de Riemann sont incompatibles — toute intégrale sur $] 0, + \infty [$ exige deux études séparées.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.