La domination décide

Le rappel qui commande tout. Le théorème de convergence dominée demande la convergence simple de $(f_n)$ et une fonction $\phi$ intégrable et indépendante de $n$ telle que $|f_n|\le \phi$ pour tout $n$. Trois situations : la dominante existe et il faut la construire ; elle n'existe pas et il faut le prouver ; on n'en a pas besoin.

a) Construire la dominante. Le théorème s'énonce sur un intervalle fixe : on pose donc, sur $I=[0,+\infty [$, $$f_n(t)=\{\begin{array}{ll}{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n& \text{si }0\le t\le n,\\ 0& \text{si }t>n,\end{array}$$ fonction continue (elle vaut $0$ en $t=n$ des deux côtés), d'intégrale ${\int }_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n\mathrm{d}t$.

Convergence simple. À $t\ge 0$ fixé, pour $n>t$, $f_n(t)=\exp \left(n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\right)$, et $n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\to -t$, car $\ln (1+w)\sim w$ en $0$ : $f_n(t)\to e^{-t}$, limite continue.

Domination. La fonction $u\mapsto \ln (1-u)+u$ est nulle en $0$ et de dérivée $-\frac{u}{1-u}\le 0$ sur $[0,1[$, donc $\ln (1-u)\le -u$. Avec $u=\frac{t}{n}$, pour $0\le t<n$ : $n\ln \left(1-\frac{t}{n}\right)\le -t$, donc $0\le f_n(t)\le e^{-t}$ ; pour $t\ge n$, $f_n(t)=0$. La fonction $\phi (t)=e^{-t}$ est intégrable et ne dépend pas de $n$.

Conclusion. Par convergence dominée, ${\int }_0^n{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^n\mathrm{d}t\to {\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}\mathrm{d}t=1$. (Contrôle exact : une primitive est $-\frac{n}{n+1}{\left(1-\frac{t}{n}\right)}^{n+1}$, et l'intégrale vaut $\frac{n}{n+1}$, qui tend bien vers $1$.)

b) Prouver qu'elle n'existe pas. À $t\in \left]0,1\right]$ fixé, $0\le f_n(t)\le \frac{1}{n{t}^2}\to 0$. Mais $f_n$, continue et bornée par $n$, est intégrable, et $${\int }_0^1\frac{n\mathrm{d}t}{1+n^2{t}^2}=[\mathrm{Arctan}(nt){]}_0^1=\mathrm{Arctan}n\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{\pi }{2}.$$ La limite des intégrales n'est pas l'intégrale de la limite, qui vaut $0$ : d'après le théorème, aucune domination ne peut exister. Montrons-le directement. Soit $t\in \left]0,1\right]$, et $n_t$ le plus petit entier supérieur ou égal à $\frac{1}{t}$ : $\frac{1}{t}\le n_t<\frac{1}{t}+1$, donc $1\le n_{t}t<1+t\le 2$, et $$f_{n_t}(t)=\frac{n_t}{1+(n_{t}t{)}^2}\ge \frac{1/t}{1+4}=\frac{1}{5t}.$$ Une fonction qui majorerait toutes les $f_n$ serait donc minorée par $\frac{1}{5t}$ sur $\left]0,1\right]$, et ne serait pas intégrable en $0$ (Riemann, exposant $1$). Aucune fonction intégrable ne domine la suite.

Ce qui se passe. $f_n$ est une bosse de hauteur $n$ et de largeur de l'ordre de $\frac{1}{n}$, d'aire presque constante : la masse se concentre en $0$, là où la limite simple ne la voit pas — le profil d'une raie spectrale de Lorentz dont la largeur tend vers $0$ à aire constante.

c) Ne pas en avoir besoin. Pour $u\ge 0$, $|\sin u|\le u$, donc pour $t>0$, $\left|\frac{\sin (t/n)}{t(1+t^2)}\right|\le \frac{1}{n(1+t^2)}$. L'intégrande est intégrable et, par l'inégalité triangulaire, $$\left|{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin (t/n)}{t(1+t^2)}\mathrm{d}t\right|\le \frac{1}{n}{\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{2n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ La convergence dominée aurait conclu aussi, avec la dominante $\frac{1}{1+t^2}$ ; la majoration directe dit davantage : elle donne une vitesse.

d) Ce que garantit la domination. Une dominante intégrable, la même pour tous les $n$, interdit à la masse de s'échapper : ni vers l'infini, comme les rectangles du cours, ni vers un point, comme en b). Pour savoir si une domination est possible, on regarde l'enveloppe $t\mapsto {\sup }_n|f_n(t)|$ : toute dominante la majore ; si elle n'est pas intégrable, aucune dominante n'existe. Enfin, la domination est suffisante, pas nécessaire : quand une majoration explicite conclut, on s'en passe.

Ce que l'exercice installe. Prolonger par $0$ pour travailler sur un intervalle fixe ; exhiber une dominante par une inégalité de convexité ; et, quand le théorème échoue, prouver qu'il échoue en minorant l'enveloppe. La bosse de b), de plus en plus haute et étroite à aire constante, est le modèle d'une impulsion de Dirac : le problème de cette séance la retrouvera sous la forme d'un noyau gaussien qui se concentre.