La fonction $\Gamma$ d'Euler, et la loi des vitesses de Maxwell

La stratégie. Une intégrale à paramètre peut définir une fonction nouvelle, dont on obtient tout sans la calculer ; puis elle sert : les intégrales gaussiennes de la physique sont des valeurs de $\Gamma$.

a) Le domaine. L'intégrande est continu et positif sur $]0,+\infty [$. En $+\infty$, $t^{x-1}{e}^{-t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$ quel que soit $x$ : intégrable. En $0$, $t^{x-1}{e}^{-t}\sim \frac{1}{t^{1-x}}$, intégrable si et seulement si $1-x<1$ (Riemann en $0$), soit $x>0$. La fonction étant positive, $\Gamma (x)$ existe si et seulement si $x>0$.

b) L'équation fonctionnelle. Soit $x>0$. On intègre par parties sur $]0,+\infty [$ avec $u(t)=t^x$ et $v(t)=-e^{-t}$ ; le produit $-t^x{e}^{-t}$ tend vers $0$ en $0^{+}$ (car $x>0$) et en $+\infty$ : $$\Gamma (x+1)=[-t^x{e}^{-t}{]}_0^{+\infty }+x{\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t=x\Gamma (x).$$ Par récurrence : $\Gamma (1)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-t}\mathrm{d}t=1=0!$, et si $\Gamma (n+1)=n!$, alors $\Gamma (n+2)=(n+1)\Gamma (n+1)=(n+1)!$. La fonction $\Gamma$ prolonge la factorielle.

c) Régularité et convexité. Posons $g(x,t)=t^{x-1}{e}^{-t}=e^{(x-1)\ln t}{e}^{-t}$. À $t>0$ fixé, $x\mapsto g(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, et chaque dérivation fait descendre un facteur $\ln t$ : $\frac{{\partial }^{k}g}{\partial x^k}(x,t)=(\ln t{)}^k{t}^{x-1}{e}^{-t}$.

La domination sur un segment — le point délicat. Aucune domination n'existe sur $]0,+\infty [$ tout entier : quand $x\to 0^{+}$, $t^{x-1}$ explose en $0$ ; quand $x\to +\infty$, il explose en $+\infty$. On fixe donc $[a,b]$ avec $0<a\le b$. À $t$ fixé, $x\mapsto t^{x-1}$ décroît si $t\le 1$ et croît si $t\ge 1$ : pour $x\in [a,b]$, $t^{x-1}\le t^{a-1}$ si $t\le 1$, $t^{x-1}\le t^{b-1}$ si $t\ge 1$, et toujours $t^{x-1}\le t^{a-1}+t^{b-1}$. D'où, pour tout $x\in [a,b]$ et tout $t>0$, $$\left|\frac{{\partial }^{k}g}{\partial x^k}(x,t)\right|\le {\phi }_k(t)=|\ln t{|}^k\left(t^{a-1}+t^{b-1}\right)e^{-t}.$$ Cette fonction, indépendante de $x$, est intégrable sur $]0,+\infty [$. En $0$ : pour $t\le 1$, $t^{b-1}\le t^{a-1}$, donc ${\phi }_k(t)\le 2|\ln t{|}^k{t}^{a-1}=t^{\frac{a}{2}-1}\cdot 2|\ln t{|}^k{t}^{a/2}$, où le second facteur tend vers $0$ : ${\phi }_k(t)=o\left(t^{\frac{a}{2}-1}\right)$, avec $1-\frac{a}{2}<1$. En $+\infty$ : ${\phi }_k(t)\le 2|\ln t{|}^k{t}^{b-1}{e}^{-t}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$. La même majoration, avec $a=b=x$, montre que chaque $t\mapsto \frac{{\partial }^{j}g}{\partial x^j}(x,t)$ est intégrable. Le théorème d'extension à la classe ${\mathcal{C}}^k$ s'applique sur $[a,b]$, pour tout $k$ ; tout $x_0>0$ appartient à un tel segment, par exemple $\left[\frac{x_0}{2},2x_0\right]$ : $\Gamma$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$, avec la formule annoncée.

Convexité stricte. ${\Gamma }^{\prime \prime }(x)={\int }_0^{+\infty }(\ln t{)}^2{t}^{x-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$ est l'intégrale d'une fonction continue, positive, non identiquement nulle (elle est strictement positive en $t=2$) : par la proposition sur l'intégrale nulle d'une fonction continue positive, ${\Gamma }^{\prime \prime }(x)>0$, et $\Gamma$ est strictement convexe.

Le minimum. $\Gamma (1)=\Gamma (2)=1$ ; par le théorème de Rolle, ${\Gamma }^{\prime }$ s'annule en un $c\in ]1,2[$, et, ${\Gamma }^{\prime }$ étant strictement croissante, c'est son unique zéro : ${\Gamma }^{\prime }<0$ sur $]0,c[$ et ${\Gamma }^{\prime }>0$ sur $]c,+\infty [$. $\Gamma$ atteint donc son minimum en $c$, et seulement là ; numériquement, $c=1,46163\dots$ et $\Gamma (c)=0,885603\dots$

d) Le comportement aux bornes. $\Gamma (x)=\frac{\Gamma (x+1)}{x}$ et $\Gamma$ est continue en $1$, donc $\Gamma (x+1)\to 1$ et $\Gamma (x)\sim \frac{1}{x}$ en $0^{+}$ (contrôle : $x\Gamma (x)$ vaut $0,951$ pour $x=0,1$ et $0,994$ pour $x=0,01$). En $+\infty$ : $\Gamma$ croît sur $[2,+\infty [$, inclus dans $[c,+\infty [$, donc pour $x\ge 2$, $\Gamma (x)\ge \Gamma (\lfloor x\rfloor )=(\lfloor x\rfloor -1)!$, qui tend vers $+\infty$.

e) Les demi-entiers, et les intégrales gaussiennes. Le changement de variable $t=u^2$, bijection croissante de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $]0,+\infty [$ sur lui-même, donne $$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)={\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t={\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-u^2}}{u}2u\mathrm{d}u=2{\int }_0^{+\infty }{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=\sqrt{\pi },$$ par l'intégrale de Gauss de l'exercice 8. Puis $\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ et $\Gamma \left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}$. Pour $a>0$ et $n\in \mathbb{N}$, le changement de variable $t=a{v}^2$, soit $v=\sqrt{t/a}$, $v^n=\frac{t^{n/2}}{a^{n/2}}$ et $\mathrm{d}v=\frac{\mathrm{d}t}{2\sqrt{a}\sqrt{t}}$, donne $${\int }_0^{+\infty }{v}^n{e}^{-a{v}^2}\mathrm{d}v=\frac{1}{2a^{(n+1)/2}}{\int }_0^{+\infty }{t}^{\frac{n-1}{2}}{e}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{2a^{(n+1)/2}}.$$ En particulier, ${\int }_0^{+\infty }{v}^2{e}^{-a{v}^2}\mathrm{d}v=\frac{\sqrt{\pi }}{4a^{3/2}}$ et ${\int }_0^{+\infty }{v}^4{e}^{-a{v}^2}\mathrm{d}v=\frac{3\sqrt{\pi }}{8a^{5/2}}$.

f) La distribution de Maxwell. Posons $a=\frac{m}{2k_{B}T}$, de sorte que $f(v)=4\pi {\left(\frac{a}{\pi }\right)}^{3/2}{v}^2{e}^{-a{v}^2}$. D'après e), $${\int }_0^{+\infty }f(v)\mathrm{d}v=4\pi \frac{a^{3/2}}{{\pi }^{3/2}}\cdot \frac{\sqrt{\pi }}{4a^{3/2}}=1,$$ et $${\int }_0^{+\infty }{v}^{2}f(v)\mathrm{d}v=4\pi \frac{a^{3/2}}{{\pi }^{3/2}}\cdot \frac{3\sqrt{\pi }}{8a^{5/2}}=\frac{3}{2a}=\frac{3k_{B}T}{m}.$$ L'énergie cinétique moyenne vaut donc $\frac{1}{2}m\cdot \frac{3k_{B}T}{m}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$ : c'est l'équipartition de l'énergie, $\frac{1}{2}{k}_{B}T$ pour chacune des trois directions de l'espace. (Contrôle : pour le diazote à $300\mathrm{K}$, la vitesse quadratique moyenne $\sqrt{3k_{B}T/m}$ vaut $517\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et la formule de e) avec $n=3$ donne la vitesse moyenne $\sqrt{8k_{B}T/(\pi m)}=476\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.)

Ce que l'exercice installe. Une intégrale à paramètre définit une fonction, et le programme de son étude est fixe : domaine, équation fonctionnelle, régularité par domination locale, convexité, comportement aux bornes. La fonction $\Gamma$ prolonge la factorielle et calcule toutes les intégrales gaussiennes ${\int }_0^{+\infty }{v}^n{e}^{-a{v}^2}\mathrm{d}v$, qui donnent en physique statistique les moyennes sur la distribution des vitesses.