Mettre en famille : l'intégrale de Gauss et la transformée de la gaussienne

La stratégie. Aucune primitive usuelle ne calcule ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$. On la met en famille : on fabrique des fonctions d'un paramètre $x$ dont on sait calculer la dérivée, on constate qu'une combinaison est constante, et l'on évalue la constante en $0$, où tout est explicite, puis en $+\infty$, où apparaît l'inconnue. En d), c'est une équation différentielle, non une primitive, qui livre la valeur.

a) Intégrabilité. Pour $|t|\ge 1$, $t^2\ge |t|$, donc $0<e^{-t^2}\le e^{-|t|}$, intégrable en $\pm \infty$ ; sur $[-1,1]$, la fonction est continue. Elle est intégrable sur $\mathbb{R}$ et paire : son intégrale sur $\mathbb{R}$ vaut $2I$.

b) Les deux dérivées. La fonction $g(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$ est la primitive de $t\mapsto e^{-t^2}$ nulle en $0$ : $g^{\prime }(x)=e^{-x^2}$ et $G^{\prime }(x)=2g(x)e^{-x^2}$.

Pour $H$, posons $h(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}$ sur $\mathbb{R}\times [0,1]$. À $x$ fixé, $t\mapsto h(x,t)$ est continue sur le segment $[0,1]$, donc intégrable ; à $t$ fixé, $x\mapsto h(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, et $\frac{\partial h}{\partial x}(x,t)=-2x{e}^{-x^2(1+t^2)}$ est continue en $x$ et en $t$. Sur un segment $[-b,b]$, $\left|\frac{\partial h}{\partial x}(x,t)\right|\le 2b$, constante intégrable sur $[0,1]$ et indépendante de $x$. Le théorème de dérivation sous le signe intégral donne : $H$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur tout $[-b,b]$, donc sur $\mathbb{R}$, et $$H^{\prime }(x)=-2x{\int }_0^1{e}^{-x^2(1+t^2)}\mathrm{d}t=-2e^{-x^2}{\int }_0^{1}x{e}^{-(xt{)}^2}\mathrm{d}t.$$ Pour $x\ne 0$, le changement de variable $u=xt$ transforme la dernière intégrale en ${\int }_0^x{e}^{-u^2}\mathrm{d}u=g(x)$, quel que soit le signe de $x$ ; pour $x=0$, les deux valent $0$. Donc $H^{\prime }(x)=-2e^{-x^2}g(x)=-G^{\prime }(x)$ : $G^{\prime }+H^{\prime }=0$ sur $\mathbb{R}$.

c) La constante, puis l'intégrale de Gauss. $G+H$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : elle est constante, égale à $G(0)+H(0)=0+{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{4}$. Quand $x\to +\infty$ : $0\le H(x)\le e^{-x^2}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}\le e^{-x^2}\to 0$, et $G(x)\to I^2$. À la limite, $I^2=\frac{\pi }{4}$ et, comme $I>0$, $$I={\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{2}.$$ Pour $a>0$, le changement de variable $t=\frac{u}{\sqrt{a}}$ donne ${\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-a{t}^2}\mathrm{d}t=\frac{2I}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$.

Le point délicat. $H$ est construite pour que tout se passe bien : son intervalle d'intégration est un segment, sa dérivée se domine par une constante, et le facteur $\frac{1}{1+t^2}$ disparaît en dérivant — c'est lui qui donne $\frac{\pi }{4}$ en $0$. L'inconnue $I$ n'apparaît qu'à la limite.

d) La transformée de la gaussienne. Soit $k(x,t)=e^{-t^2}\cos (xt)$ sur $\mathbb{R}\times [0,+\infty [$. À $x$ fixé, $|k(x,t)|\le e^{-t^2}$, intégrable ; $\frac{\partial k}{\partial x}(x,t)=-t{e}^{-t^2}\sin (xt)$ est continue et majorée en valeur absolue par $t{e}^{-t^2}$, intégrable sur $[0,+\infty [$ et indépendante de $x$ : la domination est ici globale. Donc $\Phi$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$, avec ${\Phi }^{\prime }(x)=-{\int }_0^{+\infty }t{e}^{-t^2}\sin (xt)\mathrm{d}t$. On intègre par parties avec $u(t)=\sin (xt)$ et $v(t)=\frac{1}{2}{e}^{-t^2}$, de sorte que $v^{\prime }(t)=-t{e}^{-t^2}$ ; le produit $uv$ est nul en $0$ et tend vers $0$ en $+\infty$ : $${\Phi }^{\prime }(x)=[uv{]}_0^{+\infty }-{\int }_0^{+\infty }{u}^{\prime }v=-\frac{x}{2}{\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2}\cos (xt)\mathrm{d}t=-\frac{x}{2}\Phi (x).$$ Posons $\Psi (x)=\Phi (x)e^{x^2/4}$ : ${\Psi }^{\prime }(x)=\left({\Phi }^{\prime }(x)+\frac{x}{2}\Phi (x)\right)e^{x^2/4}=0$, donc $\Psi$ est constante, égale à $\Psi (0)=I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$, et $$\Phi (x)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-x^2/4}.$$ (Contrôle : une quadrature donne $\Phi (1)=0,690194\dots =\frac{\sqrt{\pi }}{2}{e}^{-1/4}$.) Pour $\sigma >0$, le changement de variable $t=\sigma s$ donne ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^2/{\sigma }^2}\cos (xt)\mathrm{d}t=\sigma \Phi (\sigma x)=\frac{\sigma \sqrt{\pi }}{2}{e}^{-{\sigma }^2{x}^2/4}$ : une gaussienne de largeur $\sigma$ a une transformée de largeur proportionnelle à $\frac{1}{\sigma }$.

Ce que l'exercice installe. Une intégrale qu'on ne sait pas calculer se met en famille : on la fait dépendre d'un paramètre, on dérive sous le signe intégral, et l'on exploite ce que la dérivée révèle — une constante, ou une équation différentielle, comme le demande le programme. La gaussienne est, à un facteur près, sa propre transformée de Fourier, avec des largeurs inverses : c'est la relation d'incertitude entre la durée d'une impulsion et la largeur de son spectre.