mathématiques (PC) · Chapitre 9 · Exercice de TD

Mettre en famille : l'intégrale de Gauss et la transformée de la gaussienne

Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · D. Intégrales à paramètre · niveau 3 (difficile)

Énoncé

a) Montrer que $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est intégrable sur $R$ ; on note $I = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ .

b) Pour $x \in R$ , on pose $G (x) = (\int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t)^{2}$ et $H (x) = \int_{0}^{1} \frac{e ^{- x^{2} (1 + t^{2})}}{1 + t ^{2}} d t$ . Montrer que $H$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et, à l'aide du changement de variable $u = x t$ , que $G^{'} + H^{'} = 0$ .

c) En déduire que $G + H = \frac{π}{4}$ , puis, en faisant tendre $x$ vers $+ \infty$ , que $I = \frac{π}{2}$ . En déduire, pour $a > 0$ , que $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- a t^{2}} d t = \frac{π}{a}$ .

d) Soit $Φ (x) = \int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} cos (x t) d t$ . Montrer que $Φ$ est de classe $C^{1}$ sur $R$ et, par une intégration par parties, que $Φ^{'} (x) = - \frac{x}{2} Φ (x)$ . En déduire que $Φ (x) = \frac{π}{2} e^{- x^{2} /4}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Aucune primitive usuelle ne calcule $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ . On la met en famille : on fabrique des fonctions d'un paramètre $x$ dont on sait calculer la dérivée, on constate qu'une combinaison est constante, et l'on évalue la constante en $0$ , où tout est explicite, puis en $+ \infty$ , où apparaît l'inconnue. En d), c'est une équation différentielle, non une primitive, qui livre la valeur.

a) Intégrabilité. Pour $∣ t ∣ \geq 1$ , $t^{2} \geq ∣ t ∣$ , donc $0 < e^{- t^{2}} \leq e^{- ∣ t ∣}$ , intégrable en $\pm \infty$ ; sur $[- 1, 1]$ , la fonction est continue. Elle est intégrable sur $R$ et paire : son intégrale sur $R$ vaut $2 I$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour $H$ , je dérive sous l'intégrale : $\frac{\partial h}{\partial x} (x, t) = - 2 x e^{- x^{2} (1 + t^{2})}$ . Pour la domination, j'obtiens $2∣ x ∣$ , qui dépend de $x$ : le théorème ne s'applique pas sur $R$ ?

La dérivabilité est locale : sur un segment $[- b, b]$ , par quoi peux-tu majorer cette dérivée partielle indépendamment de $x$ ? Ce majorant est-il intégrable sur $[0, 1]$ ?

Élève

Par $2 b$ , une constante, donc intégrable sur le segment $[0, 1]$ . Ainsi $H$ est de classe $C^{1}$ et $H^{'} (x) = - 2 x \int_{0}^{1} e^{- x^{2} (1 + t^{2})} d t$ .

Sors $e^{- x^{2}}$ de l'intégrale : sous quelle forme apparaît alors l'intégrande, et que donne le changement de variable $u = x t$ ? Compare le résultat avec $G^{'} (x)$ , en traitant à part le cas $x = 0$ .

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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