Pas de primitive : l'intégration par parties fabrique le terme principal

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 9 — Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres · B. Calculs : IPP et changements de variable

Énoncé

Pour $x > 0$ , on pose $R (x) = \int_{x}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ .

a) Justifier l'existence de $R (x)$ . Par une intégration par parties, en écrivant $e^{- t^{2}} = \frac{- 1}{2 t} \cdot (- 2 t e^{- t^{2}})$ , montrer que $R (x) = \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} - \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} d t .$

b) En majorant la dernière intégrale par $\frac{R ( x )}{2 x ^{2}}$ , établir l'encadrement $\frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2 x ^{2}}} \leq R (x) \leq \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x},$ puis un équivalent de $R (x)$ quand $x \to + \infty$ .

c) Pousser d'un cran : montrer que, quand $x \to + \infty$ , $R (x) = \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} (1 - \frac{1}{2 x ^{2}} + O (\frac{1}{x ^{4}})) .$

d) (Le cas divergent.) Montrer que $\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t \sim \frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ quand $x \to + \infty$ : intégrer par parties sur $[1, x]$ , puis montrer que $\int_{1}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} d t$ est négligeable devant $\frac{e ^{x^{2}}}{x}$ , en coupant l'intégrale en $\frac{x}{2}$ .

e) (Physique.) Quand la surface d'un milieu semi-infini, initialement à la température $T_{0}$ , est portée à l'instant $0$ à la température $T_{1}$ , la température à la profondeur $x > 0$ et à l'instant $t > 0$ vaut (résultat admis) $T (x, t) = T_{0} + (T_{1} - T_{0}) \frac{2}{π} R (\frac{x}{2 D t}),$ où $D$ est la diffusivité thermique. Que dit la question b) de l'écart $T - T_{0}$ loin de la surface ?

Corrigé

La stratégie. Aucune primitive de $e^{- t^{2}}$ n'est usuelle ; la question est de dire comment $R (x)$ tend vers $0$ . L'intégration par parties sort un terme explicite et laisse un reste semblable à l'intégrale de départ, en plus petit, qu'on majore par la quantité elle-même. Le programme de PC ne contient aucun théorème permettant d'« intégrer un équivalent » : tout se fait à la main.

a) Existence, puis intégration par parties. Pour $t \geq 1$ , $t^{2} \geq t$ , donc $0 < e^{- t^{2}} \leq e^{- t}$ , intégrable sur $[1, + \infty [$ ; par comparaison, et par continuité, $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est intégrable sur tout $[x, + \infty [$ avec $x > 0$ : $R (x)$ existe, et $R (x) > 0$ .

On pose $u (t) = - \frac{1}{2 t}$ et $v (t) = e^{- t^{2}}$ , de classe $C^{1}$ sur $[x, + \infty [$ : $u v^{'} = e^{- t^{2}}$ et $u^{'} v = \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}}$ . Le produit $uv (t) = - \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t}$ vaut $- \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x}$ en $x$ et tend vers $0$ en $+ \infty$ . Le théorème d'intégration par parties sur un intervalle quelconque s'applique — les deux intégrales sont de même nature, et la première converge — : $R (x) = [- \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t}]_{x}^{+ \infty} - \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} d t = \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} - \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} d t .$

b) L'encadrement, et l'équivalent. Pour $t \geq x$ , $\frac{1}{t ^{2}} \leq \frac{1}{x ^{2}}$ , donc $0 \leq \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} d t \leq \frac{1}{2 x ^{2}} \int_{x}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{R ( x )}{2 x ^{2}} .$ Reporté dans a) : d'une part $R (x) \leq \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x}$ , puisqu'on retranche une quantité positive ; d'autre part $R (x) \geq \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} - \frac{R ( x )}{2 x ^{2}}$ , soit $R (x) (1 + \frac{1}{2 x ^{2}}) \geq \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x}$ . C'est l'encadrement annoncé. Divisé par $\frac{e ^{- x^{2}}}{2 x}$ , il place le rapport $\frac{2 x R ( x )}{e ^{- x^{2}}}$ entre $\frac{1}{1 + 1/ ( 2 x ^{2} )}$ et $1$ ; le minorant tend vers $1$ , donc $R (x) x \to + \infty \sim \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} .$

Le point délicat. Le reste a été majoré par $R (x)$ lui-même : inconnu, mais positif, ce qui suffit pour le faire passer de l'autre côté de l'inégalité.

Contrôle numérique. $R (3) = 1, 95772 \cdot 1 0^{- 5}$ est bien encadré par $1, 94858 \cdot 1 0^{- 5}$ et $\frac{e ^{- 9}}{6} = 2, 05683 \cdot 1 0^{- 5}$ ; le rapport $\frac{2 x R ( x )}{e ^{- x^{2}}}$ vaut $0, 758$ , $0, 905$ , $0, 952$ pour $x = 1, 2, 3$ : il tend vers $1$ , lentement.

c) Un terme de plus. On recommence sur le reste, avec $\frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} = \frac{- 1}{4 t ^{3}} \cdot (- 2 t e^{- t^{2}})$ : le crochet $- \frac{e ^{- t^{2}}}{4 t ^{3}}$ vaut $- \frac{e ^{- x^{2}}}{4 x ^{3}}$ en $x$ et tend vers $0$ en $+ \infty$ , et la dérivée de $- \frac{1}{4 t ^{3}}$ est $\frac{3}{4 t ^{4}}$ . Donc $\int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{2 t ^{2}} d t = \frac{e ^{- x^{2}}}{4 x ^{3}} - \frac{3}{4} \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{t ^{4}} d t,$ et, comme en b), $0 \leq \int_{x}^{+ \infty} \frac{e ^{- t^{2}}}{t ^{4}} d t \leq \frac{R ( x )}{x ^{4}} \leq \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x ^{5}}$ . En reportant dans a), $R (x) = \frac{e ^{- x^{2}}}{2 x} (1 - \frac{1}{2 x ^{2}} + ρ (x)), 0 \leq ρ (x) \leq \frac{3}{4 x ^{4}},$ c'est-à-dire $ρ (x) = O (\frac{1}{x ^{4}})$ . (Contrôle : pour $x = 3$ , les deux bornes valent $1, 94256 \cdot 1 0^{- 5}$ et $1, 96161 \cdot 1 0^{- 5}$ , et encadrent $R (3)$ .)

d) Le cas divergent. Posons $E (x) = \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t$ . Sur le segment $[1, x]$ , l'intégration par parties, avec $e^{t^{2}} = \frac{1}{2 t} \cdot 2 t e^{t^{2}}$ , donne $\int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t = [\frac{e ^{t^{2}}}{2 t}]_{1}^{x} + \int_{1}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{2 t ^{2}} d t = \frac{e ^{x^{2}}}{2 x} - \frac{e}{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} d t .$ Reste à montrer que $\int_{1}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} d t$ est négligeable devant $\frac{e ^{x^{2}}}{x}$ . La majoration de b) est ici impossible, car près de $t = 1$ le facteur $\frac{1}{t ^{2}}$ n'est pas petit. D'où l'idée de couper en $\frac{x}{2}$ , pour $x \geq 2$ .

Sur $[1, \frac{x}{2}]$ : $\frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} \leq e^{x^{2} /4}$ , donc ce morceau est au plus $\frac{x}{2} e^{x^{2} /4}$ , dont le rapport à $\frac{e ^{x^{2}}}{x}$ vaut $\frac{x ^{2}}{2} e^{- 3 x^{2} /4} \to 0$ : exponentiellement négligeable.
Sur $[\frac{x}{2}, x]$ : $\frac{1}{t ^{2}} \leq \frac{4}{x ^{2}}$ et, pour faire apparaître une dérivée, $1 \leq \frac{2 t}{x}$ .

Le second morceau se majore donc ainsi : $\int_{x /2}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} d t \leq \frac{4}{x ^{2}} \int_{x /2}^{x} \frac{2 t}{x} e^{t^{2}} d t = \frac{4}{x ^{3}} [e^{t^{2}}]_{x /2}^{x} \leq \frac{4 e ^{x^{2}}}{x ^{3}},$ de rapport $\frac{4}{x ^{2}} \to 0$ à $\frac{e ^{x^{2}}}{x}$ . Ainsi $E (x) = \frac{e ^{x^{2}}}{2 x} + C + \frac{1}{2} \int_{1}^{x} \frac{e ^{t^{2}}}{t ^{2}} d t$ , avec la constante $C = \int_{0}^{1} e^{t^{2}} d t - \frac{e}{2}$ ; divisés par $\frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ , les deux derniers termes tendent vers $0$ : $E (x) \sim \frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ .

Le point délicat. Dans le cas convergent, le reste était petit partout ; dans le cas divergent, il ne l'est que loin de la borne inférieure. La coupure sépare une région où l'intégrande est exponentiellement plus petit et une région où $\frac{1}{t ^{2}}$ vaut au plus $\frac{4}{x ^{2}}$ . (Contrôle : le rapport de $E (x)$ à $\frac{e ^{x^{2}}}{2 x}$ vaut $1, 070$ pour $x = 3$ et $1, 0145$ pour $x = 6$ .)

e) Le profil de température. Loin de la surface, $X = \frac{x}{2 D t}$ est grand, et b) donne $T (x, t) - T_{0} \sim (T_{1} - T_{0}) \frac{2}{π} \cdot \frac{e ^{- X^{2}}}{2 X} = (T_{1} - T_{0}) \frac{2 D t}{x π} e^{- x^{2} / (4 D t)} .$ L'écart n'est jamais nul — la diffusion atteint instantanément toutes les profondeurs —, mais il décroît comme une gaussienne dès que $x$ dépasse quelques $D t$ , la longueur de diffusion : pour chauffer deux fois plus profond, il faut attendre quatre fois plus longtemps.

Ce que l'exercice installe. L'intégration par parties sépare un terme principal explicite d'un reste plus petit, qu'on majore par la quantité elle-même (cas convergent) ou en coupant l'intervalle (cas divergent) : en PC, ce double geste remplace tout théorème sur l'intégration des équivalents. La fonction $\frac{2}{π} R$ est la fonction d'erreur complémentaire des physiciens, qui décrit la diffusion de la chaleur ou d'une espèce chimique dans un milieu semi-infini.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.