Quand $\sum \int |f_n|$ diverge : dominer les sommes partielles

La situation. Le programme de PC demande de présenter des exemples où l'énoncé d'intégration terme à terme ne s'applique pas, mais où l'échange se justifie par convergence dominée appliquée aux sommes partielles. En voici deux, et un contre-point.

a) Le théorème échoue. ${\int }_0^1|(-x{)}^n|\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$, et la série harmonique diverge : l'hypothèse du théorème n'est pas satisfaite, il ne dit rien.

b) Dominer les sommes partielles. Pour $x\in [0,1]$, la somme géométrique de raison $-x\ne 1$ donne $$S_n(x)=\frac{1-(-x{)}^{n+1}}{1+x}.$$ Comme $0\le x^{n+1}\le x$, le numérateur est compris entre $1-x^{n+1}\ge 0$ et $1+x^{n+1}\le 1+x$ : donc $0\le S_n(x)\le 1$. Pour $x\in [0,1[$, $x^{n+1}\to 0$ et $S_n(x)\to \frac{1}{1+x}$, fonction continue ; en $x=1$, $S_n(1)$ vaut alternativement $1$ et $0$, et l'on travaille donc sur $I=[0,1[$, ce qui ne change aucune intégrale. Sur cet intervalle borné, la constante $1$ est intégrable et domine toutes les $S_n$ : par convergence dominée, ${\int }_0^1{S}_n\to {\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln 2$. Or, par linéarité — il s'agit d'une somme finie —, $${\int }_0^1{S}_n(x)\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^n{\int }_0^1(-x{)}^k\mathrm{d}x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k+1}.$$ Les sommes partielles de la série convergent donc vers $\ln 2=0,693147\dots$ : la série converge, de somme $\ln 2$.

Le point délicat. On n'intègre jamais la série d'un coup : on intègre des sommes finies, ce qui est toujours permis, et c'est le passage à la limite $n\to +\infty$ que la convergence dominée justifie. La domination des sommes partielles exploite les compensations de signe, que la série des $\int |f_n|$ ignore par construction.

c) La série de Leibniz. Pour $x\in [0,1[$, $\frac{1}{1+x^2}={\sum }_{k\ge 0}(-x^2{)}^k$, de sommes partielles $T_n(x)=\frac{1-(-x^2{)}^{n+1}}{1+x^2}$. Le même encadrement, avec $0\le x^{2n+2}\le x^2$ sur $[0,1]$, donne $0\le T_n(x)\le 1$, et $T_n(x)\to \frac{1}{1+x^2}$ sur $[0,1[$. Par convergence dominée, $$\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}={\int }_0^1{T}_n(x)\mathrm{d}x\underset{n\to +\infty }{\to }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\mathrm{Arctan}1=\frac{\pi }{4}.$$

d) Le contre-point. Le développement en série entière de $\ln (1+x)$, valable pour $x\in ]0,1[$, donne $\frac{\ln (1+x)}{x}={\sum }_{n\ge 0}{w}_n(x)$ avec $w_n(x)=\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n+1}$. Chaque $w_n$ est continue et intégrable sur $]0,1[$, la somme est continue (elle tend vers $1$ en $0$), et $$\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_0^1|w_n(x)|\mathrm{d}x=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(n+1{)}^2}<+\infty .$$ Le théorème d'intégration terme à terme s'applique : ${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}\mathrm{d}x={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{(n+1{)}^2}={\sum }_{m\ge 1}\frac{(-1{)}^{m-1}}{m^2}$. Cette série est absolument convergente ; on peut séparer les indices pairs, de somme ${\sum }_{p\ge 1}\frac{1}{(2p{)}^2}=\frac{\zeta (2)}{4}$, et $$\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{m-1}}{m^2}=\zeta (2)-2\cdot \frac{\zeta (2)}{4}=\frac{\zeta (2)}{2}=\frac{{\pi }^2}{12}=0,8224670\dots ,$$ valeur que rend aussi une quadrature de l'intégrale.

D'où vient la différence. En a), ${\int }_0^1|(-x{)}^n|=\frac{1}{n+1}$, terme de la série harmonique : la convergence de $\sum \frac{(-1{)}^n}{n+1}$ ne tient qu'à l'alternance des signes. En d), le facteur supplémentaire $\frac{1}{n+1}$ rend convergente la série des $\int |w_n|=\frac{1}{(n+1{)}^2}$ : plus besoin de compensations, le théorème direct suffit.

Ce que l'exercice installe. Quand la série des $\int |f_n|$ diverge, on intègre les sommes partielles, sommes finies, et l'on passe à la limite par convergence dominée : c'est la roue de secours que le programme prévoit. Elle somme des séries alternées, valeurs d'une série entière au bord de son intervalle de convergence, sans aucun théorème sur ce bord. En physique, ${\sum }_{n\ge 1}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=\ln 2$ donne la constante de Madelung, $2\ln 2$, d'une chaîne d'ions alternés $+q$, $-q$ régulièrement espacés : la série ne converge que parce que les charges alternent.