Quand $\sum \int |f_n|$ diverge : dominer les sommes partielles

a) Pour $x\in [0,1[$, $\frac{1}{1+x}={\sum }_{n\ge 0}(-x{)}^n$. Montrer que la série ${\sum }_n{\int }_0^1|(-x{)}^n|\mathrm{d}x$ diverge : le théorème d'intégration terme à terme ne s'applique pas.

b) Montrer que les sommes partielles $S_n(x)={\sum }_{k=0}^n(-x{)}^k$ vérifient $0\le S_n(x)\le 1$ pour tout $x\in [0,1]$, et en déduire, par convergence dominée, que $$\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+1}=\ln 2.$$

c) Par la même méthode, établir que $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}$.

d) Montrer au contraire que le théorème d'intégration terme à terme s'applique à $\frac{\ln (1+x)}{x}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n{x}^n}{n+1}$ sur $]0,1[$, et en déduire que $${\int }_0^1\frac{\ln (1+x)}{x}\mathrm{d}x=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}.$$ D'où vient la différence avec la question a) ?