Changement de coordonnées

Les colonnes de $P$ sont les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ en coordonnées canoniques :

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),P^{-1}=\frac{1}{-2}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)(\text{formule }2\times 2).$$

La formule $X=P{X}^{\prime }$ donne $X^{\prime }=P^{-1}X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$.

Contrôle : $2(1,1)+1(1,-1)=(3,1)$. ✔