Endomorphisme dans une bonne base

$$AP=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),A^{\prime }=P^{-1}(AP)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Dans la base $((1,1),(1,-1))$, l'échange des coordonnées devient $\mathrm{diag}(1,-1)$ : c'est la symétrie par rapport à $\mathrm{Vect}(1,1)$ parallèlement à $\mathrm{Vect}(1,-1)$ — on lit la géométrie sur la diagonale. ($A$ et $\mathrm{diag}(1,-1)$ sont semblables : elles représentent le même endomorphisme dans deux bases ; cohérence : même rang $2$.)