La conjugaison vue comme une matrice

Stratégie : vérifier la linéarité avant tout, puis appliquer la règle des colonnes. Ici la vérification n'est pas une formalité : elle contient le cœur de l'exercice.

⚠️ Le point délicat, et il est dans l'énoncé. La conjugaison n'est pas $\mathbb{C}$-linéaire : on a $c(i\cdot 1)=\overline{i}=-i$, alors que $i\cdot c(1)=i$. Elle est en revanche $\mathbb{R}$-linéaire : pour $\lambda$ réel et $z,z^{\prime }$ complexes, $$c(\lambda z+z^{\prime })=\overline{\lambda z+z^{\prime }}=\overline{\lambda }\overline{z}+\overline{z^{\prime }}=\lambda \overline{z}+\overline{z^{\prime }}=\lambda c(z)+c(z^{\prime }),$$ la troisième égalité utilisant $\overline{\lambda }=\lambda$, vraie parce que $\lambda$ est réel. C'est exactement pour cela que l'énoncé précise « vu comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel » : sur $\mathbb{C}$ vu comme $\mathbb{C}$-espace vectoriel, $c$ ne serait pas une application linéaire et n'aurait pas de matrice.

La matrice. Les images des deux vecteurs de base sont $$c(1)=1=1\cdot 1+0\cdot i,c(i)=-i=0\cdot 1+(-1)\cdot i,$$ d'où $$C={\mathrm{Mat}}_{(1,i)}(c)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Le carré. $C^2=I_2$, ce qui traduit l'évidence $\overline{\overline{z}}=z$ : conjuguer deux fois ne fait rien.

L'interprétation. Un endomorphisme vérifiant $s\circ s=\mathrm{id}$ est une symétrie, et le cours donne la décomposition $$E=\mathrm{Ker}(s-\mathrm{id})\oplus \mathrm{Ker}(s+\mathrm{id}).$$ Ici :

• $\mathrm{Ker}(c-\mathrm{id})=\{z:\overline{z}=z\}=\mathbb{R}$, l'axe réel — les vecteurs invariants ;
• $\mathrm{Ker}(c+\mathrm{id})=\{z:\overline{z}=-z\}=i\mathbb{R}$, l'axe imaginaire — les vecteurs changés en leur opposé.

La conjugaison est donc la symétrie par rapport à l'axe réel parallèlement à l'axe imaginaire — c'est-à-dire, géométriquement, la réflexion du plan par rapport à l'axe des abscisses, ce que tout le monde sait depuis le chapitre 3 sur les complexes. La matrice le dit d'un coup d'œil : un $+1$ et un $-1$ sur la diagonale, c'est la marque d'une symétrie, et la présence de zéros ailleurs signifie que la base $(1,i)$ est déjà la base adaptée.

Contrôle. Prenons $z=3+2i$, de coordonnées $(3,2)$. Le produit $C\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right)$ correspond au complexe $3-2i$, qui est bien $\overline{z}$. ✓

Ce que l'exercice installe. Une matrice diagonale ne portant que des $1$ et des $-1$ est toujours la matrice d'une symétrie, et la base dans laquelle on l'obtient est celle qui sépare les invariants des opposés. C'est le premier cas — le plus simple — de ce que la deuxième année appellera diagonaliser.