La matrice de uns, rendue diagonale

Stratégie : chercher une base dans laquelle l'endomorphisme est lisible, c'est-à-dire une base formée de vecteurs que $u_J$ se contente de multiplier par un scalaire.

Ce que fait $u_J$. Pour une colonne $X$ de coordonnées $x_1,\dots ,x_n$, chaque coordonnée du produit $JX$ est la somme de toutes les $x_i$. En notant $s=x_1+\cdots +x_n$ et $e=(1,1,\dots ,1)$ : $$u_J(X)=s\cdot e.$$ Toute l'information sur $J$ tient dans cette formule, et deux conséquences en découlent aussitôt.

Le noyau. $u_J(X)=0$ équivaut à $s=0$. Donc $$\mathrm{Ker}J=H=\{x_1+\cdots +x_n=0\},$$ l'hyperplan d'équation « somme des coordonnées nulle », de dimension $n-1$.

Un vecteur remarquable. La somme des coordonnées de $e$ vaut $n$, donc $$u_J(e)=n\cdot e:$$ le vecteur $e$ est simplement multiplié par $n$.

La base adaptée. La somme des coordonnées de $e$ vaut $n\ne 0$, donc $e\notin H$ : la droite $\mathrm{Vect}(e)$ n'est pas contenue dans l'hyperplan $H$, et le théorème du cours donne $${\mathbb{R}}^n=\mathrm{Vect}(e)\oplus H.$$ Prenons pour base de $H$ les $n-1$ vecteurs $f_k=e_1-e_k$, pour $k$ allant de $2$ à $n$ : leur somme de coordonnées est nulle, donc ils sont dans $H$ ; ils sont libres, car le vecteur $f_k$ est le seul à avoir une coordonnée non nulle en position $k$ ; et ils sont $n-1$, ce qui est la dimension de $H$. C'est donc une base de $H$.

Dans la base ${\mathcal{B}}^{\prime }=\left(e,f_2,\dots ,f_n\right)$ : $$u_J(e)=ne\text{ (premieˋre colonne }(n,0,\dots ,0)),u_J(f_k)=0\text{ (colonnes nulles)},$$ d'où $${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(u_J)=\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0).$$ Cette matrice et $J$ représentent le même endomorphisme dans deux bases : elles sont semblables, avec pour matrice de passage $P$ celle dont les colonnes sont $e,f_2,\dots ,f_n$.

⚠️ Le point délicat : avoir trouvé un vecteur multiplié par $n$ et un noyau de dimension $n-1$ ne suffit pas. Encore faut-il que leur réunion forme une base, c'est-à-dire que la somme soit directe. C'est le rôle de l'observation « $e$ n'est pas dans $H$ » : un calcul d'une ligne, mais sans lequel toute la construction s'effondre — rien n'interdirait a priori que $e$ soit lui-même dans le noyau.

La récompense : les puissances. Comme $J=P\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)P^{-1}$ : $$J^k=P\mathrm{diag}\left(n^k,0,\dots ,0\right)P^{-1}=n^{k-1}P\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)P^{-1},$$ $$\boxed{J^k=n^{k-1}J\text{pour tout }k⩾1.}$$

Contrôle direct. Le coefficient en position $(i,j)$ de $J^2$ vaut ${\sum }_{k=1}^{n}1\times 1=n$ : donc $J^2=nJ$, ce qui est bien le cas $k=2$ de la formule. La vérification symbolique de $P^{-1}JP$ pour $n=2$, $n=3$ et $n=5$ redonne exactement $\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)$. ✓

Ce que l'exercice installe. Le programme entier de la réduction, sur un exemple qu'on peut tenir dans la main : chercher les vecteurs que l'endomorphisme se contente de multiplier, vérifier qu'ils engendrent tout l'espace, écrire la matrice dans cette base — et empocher les puissances.