Problème — Le rang des lignes égale le rang des colonnes

Soit $A\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$ une matrice non nulle, de rang $r$.

1) Montrer que $\mathrm{rg}A=1$ si et seulement s'il existe une colonne $C\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{K})$ et une ligne $L\in {\mathcal{M}}_{1,p}(\mathbb{K})$, non nulles, telles que $A=CL$.

2) Soit $(B_1,\dots ,B_r)$ une base de $\mathrm{Im}A$. Montrer qu'il existe des lignes $L_1,\dots ,L_r\in {\mathcal{M}}_{1,p}(\mathbb{K})$, toutes non nulles, telles que $A=\sum _{k=1}^r{B}_k{L}_k$ : $A$ est somme de $r$ matrices de rang $1$.

3) Montrer que $\mathrm{rg}(M+N)\le \mathrm{rg}M+\mathrm{rg}N$ pour $M,N\in {\mathcal{M}}_{n,p}(\mathbb{K})$, et en déduire que $A$ n'est pas somme de moins de $r$ matrices de rang $1$.

4) En transposant l'écriture du 2), montrer que $\mathrm{Im}(A^{\top })$ est contenue dans $\mathrm{Vect}(L_1^{\top },\dots ,L_r^{\top })$, puis que $\mathrm{rg}(A^{\top })\le \mathrm{rg}(A)$. Conclure que $\mathrm{rg}(A^{\top })=\mathrm{rg}(A)$.

5) Conséquences. a) Montrer que le nombre maximal de lignes linéairement indépendantes de $A$ est $\mathrm{rg}A$. b) En déduire qu'un système homogène $AX=0$ de $n$ équations à $p$ inconnues équivaut au système formé de $\mathrm{rg}A$ de ses équations, linéairement indépendantes, et que ses solutions forment un sous-espace de dimension $p-\mathrm{rg}A$.

6) Soit $n\ge 2$. Écrire la matrice $(i+j{)}_{1\le i,j\le n}$ comme somme de deux matrices de rang $1$, et en déduire son rang. Énoncer le théorème obtenu.