mathématiques (PCSI) · Chapitre 11 · Exercice de TD

Réaction $A ⇌ B$ : la base qui découple

Matrices · D. Changements de bases et matrices semblables · niveau 2

Énoncé

Deux espèces $A$ et $B$ se transforment l'une en l'autre par deux réactions d'ordre $1$ : $A \to B$ , de constante de vitesse $k_{1} > 0$ , et $B \to A$ , de constante de vitesse $k_{2} > 0$ . Leurs concentrations vérifient $a^{'} = - k_{1} a + k_{2} b, b^{'} = k_{1} a - k_{2} b, a (0) = a_{0} > 0, b (0) = 0.$ On note $X (t) = (a (t) b (t))$ et $K = (- k_{1} k_{1} k_{2} - k_{2})$ , de sorte que $X^{'} = K X$ , la dérivée d'une colonne de fonctions étant prise coordonnée par coordonnée.

1) Déterminer $Ker K$ , et vérifier que $w = (1, - 1)^{⊤}$ vérifie $K w = - (k_{1} + k_{2}) w$ . En déduire une matrice inversible $P$ telle que $P^{- 1} K P = diag (0, - (k_{1} + k_{2}))$ .

2) On pose $Y = P^{- 1} X = (y_{1}, y_{2})^{⊤}$ . Montrer que $Y^{'} = P^{- 1} K P Y$ , c'est-à-dire $y_{1}^{'} = 0$ et $y_{2}^{'} = - (k_{1} + k_{2}) y_{2}$ : les deux équations sont découplées. Les résoudre.

3) En déduire $a (t)$ et $b (t)$ . Que vaut $a + b$ ? Déterminer les limites $a_{\infty}$ et $b_{\infty}$ , et le rapport $b_{\infty} / a_{\infty}$ .

4) Quelle durée caractérise le retour à l'équilibre ? La comparer à $1/ k_{1}$ et à $1/ k_{2}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Les deux équations sont couplées : $a^{'}$ dépend de $b$ , et $b^{'}$ de $a$ . On cherche une base dans laquelle $u_{K}$ se contente de multiplier chaque vecteur de base par un scalaire ; dans les coordonnées correspondantes, les équations se découplent, et chacune est une équation linéaire du premier ordre à coefficient constant.

1) La bonne base. $K X = 0$ équivaut à $- k_{1} a + k_{2} b = 0$ , la seconde ligne étant l'opposée de la première : $Ker K$ est la droite engendrée par $v = (k_{2}, k_{1})^{⊤}$ . Et $K w = (- k_{1} - k_{2}, k_{1} + k_{2})^{⊤} = - (k_{1} + k_{2}) w$ . $(v, w)$ est une base : si $α v + β w = 0$ , alors $α k_{2} + β = 0$ et $α k_{1} - β = 0$ ; en ajoutant, $α (k_{1} + k_{2}) = 0$ , donc $α = 0$ , puis $β = 0$ . Soit $P = (k_{2} k_{1} 1 - 1)$ la matrice de passage de la base canonique à $(v, w)$ . Dans cette base, $u_{K}$ envoie $v$ sur $0$ et $w$ sur $- (k_{1} + k_{2}) w$ : $P^{- 1} K P = (00 0 - (k_{1} + k_{2})), P^{- 1} = \frac{1}{k _{1} + k _{2}} (1 k_{1} 1 - k_{2}),$ l'inverse venant de la formule des matrices $2 \times 2$ ( $a d - b c = - (k_{1} + k_{2})$ ).

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le 2), j'écris $X = P Y$ , donc $X^{'} = K X = K P Y$ . Mais pour exprimer $Y^{'}$ , j'hésite : a-t-on le droit d'écrire $Y^{'} = P^{- 1} X^{'}$ , comme on le ferait avec une constante ?

Que contient chaque coordonnée de $P^{- 1} X$ ? Écris $y_{1}$ comme combinaison de $a$ et de $b$ : que t'apprend la nature des coefficients sur la façon de dériver ?

Élève

Chaque $y_{i}$ est une combinaison de $a$ et $b$ à coefficients constants, donc la dérivée passe à travers : $Y^{'} = P^{- 1} X^{'} = P^{- 1} K X$ , et j'insère $P P^{- 1}$ entre $K$ et $X$ .

Bien. Une fois les deux équations découplées résolues, il reste deux constantes : comment les détermines-tu à partir de $a (0) = a_{0}$ et $b (0) = 0$ , en restant dans les nouvelles coordonnées ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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