Rotation et homothétie

Matrices · A. Matrices d'applications linéaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Écrire la matrice, dans la base canonique de $R^{2}$ , de la rotation vectorielle $r$ d'angle $\frac{π}{4}$ , puis celle de $h \circ r$ où $h$ est l'homothétie de rapport $2$ . Vérifier que $r^{2}$ (composée de $r$ avec elle-même) est la rotation d'angle $\frac{π}{2}$ .

Corrigé

Les colonnes sont les images des vecteurs de base : $r (e_{1}) = (cos \frac{π}{4}, sin \frac{π}{4})$ et $r (e_{2}) = (- sin \frac{π}{4}, cos \frac{π}{4})$ , donc

$Mat (r) = R (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (11 - 1 1) .$

L'homothétie $h = 2 id$ a pour matrice $2 I_{2}$ , et la composée se lit sur le produit :

$Mat (h \circ r) = 2 I_{2} \cdot R (\frac{π}{4}) = (11 - 1 1) .$

Enfin $Mat (r^{2}) = R (\frac{π}{4})^{2} = \frac{1}{2} (11 - 1 1)^{2} = (01 - 1 0) = R (\frac{π}{2})$ : composer les rotations, c'est ajouter les angles — le chapitre 2 (trigonométrie), le chapitre 7 (calcul matriciel) et ce chapitre racontent la même histoire dans trois langues.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables