Trois équations, deux inconnues : quand y a-t-il une solution ?

Stratégie : traduire la compatibilité en appartenance, puis décrire l'image par une ÉQUATION. Le système $AX=B$ est compatible si et seulement si $B\in \mathrm{Im}A$ ; or pour tester une appartenance, la bonne description d'un sous-espace n'est pas la paramétrisation mais l'équation.

Le rang et l'image. Les colonnes sont $C_1=(1,1,2)$ et $C_2=(1,2,3)$. Elles ne sont pas proportionnelles : le rapport des premières coordonnées vaut $1$, celui des deuxièmes vaut $2$. Donc $$\mathrm{rg}A=2,\mathrm{Im}A=\mathrm{Vect}(C_1,C_2)\text{ est un plan de }{\mathbb{R}}^3.$$

L'équation de ce plan. Un plan de ${\mathbb{R}}^3$ est un hyperplan : son équation s'écrit $\alpha b_1+\beta b_2+\gamma b_3=0$ avec $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ non nul. Il suffit d'écrire que les deux colonnes la vérifient : $$\alpha +\beta +2\gamma =0,\alpha +2\beta +3\gamma =0.$$ En soustrayant : $\beta +\gamma =0$, donc $\beta =-\gamma$ ; puis $\alpha =-\beta -2\gamma =-\gamma$. En choisissant $\gamma =1$ on obtient $(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1,-1,1)$, c'est-à-dire l'équation $$\boxed{b_3=b_1+b_2.}$$

Une lecture directe, plus rapide. La troisième ligne de $A$ est la somme des deux premières : $(2,3)=(1,1)+(1,2)$. Toute combinaison linéaire des colonnes hérite donc de cette relation entre ses coordonnées, ce qui redonne $b_3=b_1+b_2$ sans aucun calcul.

Le nombre de solutions. Lorsque la condition est remplie, le théorème du rang donne $$\dim \mathrm{Ker}A=2-\mathrm{rg}A=2-2=0,$$ donc l'ensemble des solutions est réduit à un seul point : la solution est unique.

⚠️ Le point délicat : la condition porte sur le SECOND MEMBRE, pas sur les inconnues. Elle vient de ce que le système a plus d'équations ($3$) que d'inconnues ($2$) : l'image de $A$ ne peut pas remplir ${\mathbb{R}}^3$, elle n'en est qu'un plan. Un tel système est dit sur-déterminé : il n'a de solution que si le second membre tombe pile dans ce plan.

Contrôle numérique. Pour $B=(1,1,2)$ la condition est remplie ($2=1+1$) : le système admet l'unique solution $(x,y)=(1,0)$, et la troisième équation $2\cdot 1+3\cdot 0=2$ est bien satisfaite. Pour $B=(1,1,3)$ la condition échoue ($3\ne 2$) : les deux premières équations imposent encore $(1,0)$, qui donne $2$ et non $3$ dans la troisième — l'ensemble des solutions est vide. ✓

Ce que l'exercice installe. Un sous-espace se décrit de deux façons : par paramétrisation, commode pour produire des vecteurs, et par équations, commode pour tester une appartenance. Discuter la compatibilité d'un système, c'est toujours passer de la première description à la seconde.