Une matrice à diagonale strictement dominante est inversible

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 11 — Matrices · B. Noyau, image, rang

Énoncé

Soit $A = (a_{i, j}) \in M_{n} (C)$ à diagonale strictement dominante : pour tout $i \in {1, \dots, n}$ , $∣ a_{i, i} ∣ > \sum_{j \neq = i} ∣ a_{i, j} ∣$ .

1) Soit $X = (x_{1}, \dots, x_{n})^{⊤} \in Ker A$ , et $i$ un indice tel que $∣ x_{i} ∣ = max_{k} ∣ x_{k} ∣$ . En isolant $a_{i, i} x_{i}$ dans la $i$ -ième équation du système $A X = 0$ , montrer que $x_{i} = 0$ , puis que $X = 0$ .

2) En déduire que $A$ est inversible (c'est le lemme d'Hadamard).

3) Applications. a) Pour $x$ réel tel que $∣ x ∣ > 2$ , montrer que la matrice $T_{n} (x) \in M_{n} (R)$ portant des $x$ sur la diagonale, des $1$ juste au-dessus et juste au-dessous, et des $0$ ailleurs, est inversible. b) Pour $c > 0$ , montrer que la matrice $K_{c}$ portant $2 + c$ sur la diagonale, $- 1$ juste au-dessus et juste au-dessous, et $0$ ailleurs, est inversible ; vérifier qu'elle apparaît quand on discrétise au pas $h$ l'équation $- y^{''} + γ y = f$ ( $γ > 0$ ) sur un segment, en remplaçant $y^{''} (x_{k})$ par $\frac{y _{k + 1} - 2 y _{k} + y _{k - 1}}{h ^{2}}$ et en imposant à $y$ d'être nulle aux deux bords.

4) La condition est-elle nécessaire ? (Examiner $(1324)$ .) Peut-on la remplacer par une inégalité large ? (Examiner $(1111)$ .)

Corrigé

La stratégie. Pour une matrice carrée, être inversible équivaut à avoir un noyau réduit à ${0}$ (cours). On prend donc un vecteur du noyau et l'on montre qu'il est nul, en regardant sa plus grande coordonnée en module — celle que les autres ne peuvent pas compenser.

1) Le vecteur du noyau. La $i$ -ième équation de $A X = 0$ s'écrit, en isolant le terme diagonal, $a_{i, i} x_{i} = - \sum_{j \neq = i} a_{i, j} x_{j}$ . Passons aux modules avec l'inégalité triangulaire, puis majorons chaque $∣ x_{j} ∣$ par $∣ x_{i} ∣$ , qui est le plus grand : $∣ a_{i, i} ∣ ∣ x_{i} ∣ \leq j \neq = i \sum ∣ a_{i, j} ∣ ∣ x_{j} ∣ \leq (j \neq = i \sum ∣ a_{i, j} ∣) ∣ x_{i} ∣ .$ Supposons par l'absurde $x_{i} \neq = 0$ : en divisant par $∣ x_{i} ∣ > 0$ , on obtient $∣ a_{i, i} ∣ \leq \sum_{j \neq = i} ∣ a_{i, j} ∣$ , ce qui contredit l'hypothèse sur la ligne $i$ . Donc $x_{i} = 0$ ; et comme $∣ x_{i} ∣$ est le maximum des $∣ x_{k} ∣$ , toutes les coordonnées sont nulles : $X = 0$ .

Le point délicat. L'hypothèse ne sert que sur une ligne, celle où le maximum est atteint — mais on ne sait pas d'avance laquelle : il faut donc la dominance sur toutes les lignes. Et c'est la stricte inégalité qui fournit la contradiction.

2) L'inversibilité. $Ker A = {0}$ et $A$ est carrée : $A$ est inversible. Le raisonnement vaut sur $C$ comme sur $R$ : il n'utilise que le module et l'inégalité triangulaire.

3) Applications. a) Dans $T_{n} (x)$ , chaque ligne a au plus deux coefficients non diagonaux non nuls, égaux à $1$ : la somme de leurs modules vaut au plus $2 < ∣ x ∣$ . Donc $T_{n} (x)$ est inversible pour $∣ x ∣ > 2$ . b) De même, chaque ligne de $K_{c}$ a une somme hors diagonale d'au plus $2 < 2 + c$ : $K_{c}$ est inversible. L'origine de $K_{c}$ . Découpons le segment en $n + 1$ pas $h$ , aux points $x_{k} = k h$ , avec $y_{0} = y_{n + 1} = 0$ . L'équation discrétisée au point $x_{k}$ s'écrit $- \frac{y _{k + 1} - 2 y _{k} + y _{k - 1}}{h ^{2}} + γ y_{k} = f (x_{k}),$ soit, en multipliant par $h^{2}$ , $- y_{k - 1} + (2 + γ h^{2}) y_{k} - y_{k + 1} = h^{2} f (x_{k}), 1 \leq k \leq n :$ c'est le système $K_{c} Y = h^{2} F$ avec $c = γ h^{2} > 0$ . Le schéma a une solution, et une seule, quel que soit le pas. Le cas limite $c = 0$ , qui correspond à $- y^{''} = f$ , échappe au lemme ( $2 = 1 + 1$ sur les lignes intérieures) ; le chapitre suivant montrera que cette matrice est pourtant inversible.

4) Les limites du lemme. La condition n'est pas nécessaire : $(1324)$ n'est pas dominante sur sa première ligne ( $1 < 2$ ), et pourtant elle est inversible, car $a d - b c = 4 - 6 = - 2 \neq = 0$ . L'inégalité large ne suffit pas : $(1111)$ réalise l'égalité sur chaque ligne et n'est pas inversible, $(1, - 1)^{⊤}$ étant dans son noyau. L'exemple tombe exactement dans le trou de la démonstration : ses deux coordonnées ont le même module, et chaque ligne les compense parfaitement.

Ce que l'exercice installe. Pour prouver qu'une matrice carrée est inversible, montrer que son noyau est nul ; pour contrôler un vecteur, regarder sa plus grande coordonnée — un « principe du maximum » discret, qui reviendra avec les schémas numériques. En physique, c'est pourquoi un réseau de résistances dont chaque nœud est relié à la masse a des potentiels uniques : la loi des nœuds écrite en potentiels donne un système à diagonale strictement dominante.

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