Aire orientée et échange

On range les vecteurs en colonnes :

$$\det (u,v)=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=3\times 2-1\times 1=5.$$

Le parallélogramme construit sur $u$ et $v$ a pour aire $5$, et $\det (u,v)>0$ : la famille $(u,v)$ est dans le sens direct (trigonométrique). Échanger deux vecteurs change le signe du déterminant : $\det (v,u)=-5$ — même aire, orientation renversée.