Déterminant à paramètre

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 12 — Déterminants · A. Calculs de déterminants

Énoncé

Calculer $det 111 1 a 1 11 a$ et retrouver la discussion du rang menée au chapitre 11.

Corrigé

Transvections $L_{2} \leftarrow L_{2} - L_{1}$ et $L_{3} \leftarrow L_{3} - L_{1}$ :

$100 1 a - 1 0 10 a - 1 = (a - 1)^{2} (triangulaire) .$

La matrice est inversible (rang $3$ ) si et seulement si $a \neq = 1$ — et pour $a = 1$ , tous les coefficients valent $1$ : rang $1$ . C'est exactement la discussion menée au chapitre 11, obtenue ici par un seul calcul de déterminant.

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