Déterminant à paramètre

Transvections $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ :

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a-1\end{array}\right|=(a-1{)}^2(\text{triangulaire}).$$

La matrice est inversible (rang $3$) si et seulement si $a\ne 1$ — et pour $a=1$, tous les coefficients valent $1$ : rang $1$. C'est exactement la discussion menée au chapitre 11, obtenue ici par un seul calcul de déterminant.