mathématiques (PCSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Deux obstructions de parité

Déterminants · B. Propriétés et raisonnements · niveau 2

Énoncé

1) Montrer qu'une matrice antisymétrique $A \in M_{n} (R)$ de taille $n$ impaire n'est jamais inversible. Pour $n = 2$ , calculer $det (0 - a a 0)$ : l'imparité était-elle nécessaire ?

2) Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = - I_{n}$ . Montrer que $n$ est pair. Donner un exemple pour $n = 2$ — quelle transformation du plan ? —, puis pour tout $n$ pair.

3) Et sur $C$ ? Montrer que l'argument du 1) vaut encore dans $M_{n} (C)$ , mais qu'il existe pour tout $n$ une matrice $A \in M_{n} (C)$ telle que $A^{2} = - I_{n}$ . Où la réalité des coefficients a-t-elle servi au 2) ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Passer au déterminant : une relation entre matrices devient une équation entre nombres, où la taille $n$ apparaît en exposant, par $det (λ A) = λ^{n} det A$ . La parité de $n$ décide alors de tout.

1) Les matrices antisymétriques. Soit $A$ telle que $A^{⊤} = - A$ , de taille $n$ impaire : $det A = det (A^{⊤}) = det (- A) = (- 1)^{n} det A = - det A .$ La première égalité est le théorème du cours sur la transposée ; la deuxième, l'hypothèse ; la troisième, $det (λ A) = λ^{n} det A$ avec $λ = - 1$ — le facteur $- 1$ sort une fois de chacune des $n$ colonnes ; la dernière utilise l'imparité. De $det A = - det A$ on tire $2 det A = 0$ , donc $det A = 0$ : $A$ n'est pas inversible. En taille $2$ , $det (0 - a a 0) = a^{2}$ , non nul dès que $a \neq = 0$ : une matrice antisymétrique non nulle de taille $2$ est inversible. En taille paire, la chaîne s'arrête à $det A = det A$ et ne dit rien : l'imparité était indispensable.

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = - I_{n}$ . Montrer que $n$ est pair. Donner un exemple pour $n = 2$ — quelle transformation du plan ? —, puis pour tout $n$ pair.

Élève

Pour le 2), j'ai voulu refaire comme au 1), mais ici il n'y a pas de transposée. Je ne vois pas d'où la parité de $n$ peut sortir.

Garde l'idée générale du 1) : passer au déterminant, où $n$ apparaît en exposant. Que donne le déterminant appliqué aux deux membres de $A^{2} = - I_{n}$ ?

Élève

À gauche, $det (A^{2}) = (det A)^{2}$ ; à droite, $det (- I_{n}) = (- 1)^{n}$ .

Que sais-tu du signe du membre de gauche, et quelle hypothèse de l'énoncé le garantit ? Pour l'exemple en taille $2$ , quelle transformation du plan, effectuée deux fois de suite, donne la symétrie centrale $- I_{2}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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