mathématiques (PCSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Du facteur d'aire à l'élément de volume

Déterminants · C. Géométrie et applications · niveau 2

Énoncé

On admet qu'un endomorphisme $u$ de $R^{2}$ (resp. de $R^{3}$ ) multiplie les aires (resp. les volumes) par $∣ det u ∣$ .

1) Soit $u : (x, y) \mapsto (2 x + y, x + y)$ . Calculer $det u$ . Quelle est l'aire de l'image par $u$ du disque unité ? Que valent les déterminants d'une rotation, d'une symétrie par rapport à une droite ?

2) Coordonnées polaires. Soit $Φ (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)$ , pour $r > 0$ . À $θ$ fixé, puis à $r$ fixé, montrer à l'aide de développements limités à l'ordre $1$ que $Φ (r + d r, θ) - Φ (r, θ) = d r (cos θ, sin θ)$ et $Φ (r, θ + d θ) - Φ (r, θ) = d θ (- r sin θ, r cos θ) + o (d θ)$ . On admet que l'image du petit rectangle $[r, r + d r] \times [θ, θ + d θ]$ a une aire équivalente à celle du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs : montrer qu'elle vaut $r d r d θ$ .

3) Par la même démarche, montrer que l'élément de volume vaut $r d r d θ d z$ en coordonnées cylindriques $(r cos θ, r sin θ, z)$ , et $r^{2} sin θ d r d θ d φ$ en coordonnées sphériques $(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)$ , avec $r > 0$ et $θ \in] 0, π [$ .

4) Où ce facteur s'annulerait-il si l'on autorisait $r = 0$ , ou $θ \in {0, π}$ en sphériques ? Que deviennent alors les vecteurs, et que dire du paramétrage en ces points ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Deux idées. La valeur absolue du déterminant d'un endomorphisme est son facteur de dilatation des aires et des volumes. Et une application non linéaire, sur un domaine très petit, se comporte comme sa partie linéaire — c'est ce que dit le développement limité à l'ordre $1$ . Ensemble, elles donnent le facteur local de dilatation d'un changement de coordonnées.

1) Un endomorphisme du plan. $det u = 2111 = 2 - 1 = 1$ : l'image du disque unité, une ellipse, a pour aire $π \times 1 = π$ . $u$ conserve les aires sans conserver les formes. Une rotation d'angle $α$ a pour matrice $R (α)$ , de déterminant $cos^{2} α + sin^{2} α = 1$ : aires et orientation conservées. Une symétrie par rapport à une droite, parallèlement à une autre, a pour matrice $diag (1, - 1)$ dans une base adaptée ; le déterminant d'un endomorphisme ne dépendant pas de la base, il vaut $- 1$ : les aires sont conservées, l'orientation est renversée.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le 2), j'ai obtenu les deux petits vecteurs avec les DL de $cos$ et $sin$ en $θ$ . Pour l'aire, je voulais utiliser le 1), mais $Φ$ n'est pas linéaire : je ne vois pas de quel endomorphisme prendre le déterminant.

L'endomorphisme à considérer n'est pas $Φ$ : vois le parallélogramme construit sur deux vecteurs $a$ et $b$ comme l'image du carré unité par un endomorphisme bien choisi. Lequel, et quelle est l'aire du carré unité ?

Élève

L'endomorphisme qui envoie $e_{1}$ sur $a$ et $e_{2}$ sur $b$ : sa matrice a pour colonnes les deux vecteurs. Mais ces colonnes contiennent $d r$ et $d θ$ , et il reste un $o (d θ)$ .

Le $o (d θ)$ ne compte pas : l'énoncé admet que l'aire cherchée est équivalente à celle du parallélogramme construit sur les parties principales. Pour $d r$ et $d θ$ , quelle propriété du déterminant par rapport à chaque colonne permet de les sortir, et quel déterminant reste-t-il à calculer ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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