La famille $(x_1+x_2,\dots ,x_n+x_1)$ : une base si et seulement si $n$ est impair

Ce qu'on a le droit d'utiliser. ${\det }_e$ est linéaire par rapport à chacune de ses variables, les autres étant fixées ; il est alterné — nul dès que deux vecteurs sont égaux — et, par conséquent, échanger deux vecteurs change son signe ; une famille de $n$ vecteurs est une base si et seulement si son déterminant dans $e$ est non nul. Aucune formule explicite n'est nécessaire.

1) Les petites dimensions. Pour $n=2$, $y_1=x_1+x_2$ et $y_2=x_2+x_1$ sont égaux : ${\det }_e(y_1,y_2)=0$. Le développement le confirme : $$\underset{e}{\det }(x_1+x_2,x_2+x_1)=\underset{e}{\det }(x_1,x_2)+\underset{e}{\det }(x_1,x_1)+\underset{e}{\det }(x_2,x_2)+\underset{e}{\det }(x_2,x_1)=\underset{e}{\det }(x_1,x_2)-\underset{e}{\det }(x_1,x_2)=0.$$ Pour $n=3$, le développement de ${\det }_e(x_1+x_2,x_2+x_3,x_3+x_1)$ compte $2^3=8$ termes : $x_1$ ou $x_2$ en première position, $x_2$ ou $x_3$ en deuxième, $x_3$ ou $x_1$ en troisième. Tout terme où un vecteur apparaît deux fois est nul ; restent $(x_1,x_2,x_3)$ et $(x_2,x_3,x_1)$. Le second se ramène au premier par deux échanges — positions $1$ et $3$, qui donnent $(x_1,x_3,x_2)$, puis positions $2$ et $3$ —, donc avec le signe $(-1{)}^2=1$. Ainsi ${\det }_e(y_1,y_2,y_3)=2{\det }_e(x_1,x_2,x_3)$.

2) Les termes qui survivent. Un terme est nul dès que deux positions portent le même vecteur, c'est-à-dire dès que $c$ n'est pas injective. Cherchons les choix injectifs.

• Si $c(1)=1$ : $c(n)$ vaut $n$ ou $1$, et $1$ est pris, donc $c(n)=n$ ; puis $c(n-1)$ vaut $n-1$ ou $n$, et $n$ est pris, donc $c(n-1)=n-1$ ; en remontant ainsi jusqu'à $c(2)=2$, on obtient $c(i)=i$ pour tout $i$.
• Si $c(1)=2$ : $c(2)$ vaut $2$ ou $3$, et $2$ est pris, donc $c(2)=3$ ; de proche en proche, $c(i)=i+1$ jusqu'à $c(n-1)=n$ ; enfin $c(n)$ vaut $n$ ou $1$, et $n$ est pris : $c(n)=1$.

Il ne reste que ${\det }_e(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ et ${\det }_e(x_2,x_3,\dots ,x_n,x_1)$.

3) Le terme décalé. Dans $(x_2,\dots ,x_n,x_1)$, échangeons $x_1$ avec son voisin de gauche, puis avec le suivant, et ainsi de suite : après $n-1$ échanges de voisins, $x_1$ est en tête et les autres vecteurs ont été décalés d'un cran sans changer d'ordre. Chaque échange multiplie le déterminant par $-1$ : $$\underset{e}{\det }(x_2,\dots ,x_n,x_1)=(-1{)}^{n-1}\underset{e}{\det }(x_1,\dots ,x_n).$$ Avec le 2), et puisque $(-1{)}^{n-1}=(-1{)}^{n+1}$ : $$\underset{e}{\det }(y_1,\dots ,y_n)=(1+(-1{)}^{n+1})\underset{e}{\det }(x_1,\dots ,x_n).$$ On retrouve $0$ pour $n=2$ et $2{\det }_e(x_1,x_2,x_3)$ pour $n=3$.

4) La parité. Si $(x_i)$ est une base, ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$, et ${\det }_e(y_1,\dots ,y_n)$ est non nul si et seulement si $1+(-1{)}^{n+1}\ne 0$ : le facteur vaut $2$ pour $n$ impair, $0$ pour $n$ pair. Donc $(y_i)$ est une base si et seulement si $n$ est impair. La relation pour $n$ pair. Dans la somme alternée ${\sum }_{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{y}_i$, chaque $x_j$ avec $j\ge 2$ apparaît dans $y_{j-1}$, avec le signe $(-1{)}^j$, et dans $y_j$, avec le signe $(-1{)}^{j+1}$ : les deux se compensent. Le vecteur $x_1$ apparaît dans $y_1$ avec le signe $+$ et dans $y_n$ avec le signe $(-1{)}^{n+1}$. Donc $$\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+1}{y}_i=(1+(-1{)}^{n+1})x_1,$$ nul pour $n$ pair : $y_1-y_2+y_3-\cdots -y_n=0$, relation à coefficients tous non nuls. Pour $n$ impair, la même somme vaut $2x_1$, ce qui redonne $x_1$ à partir des $y_i$.

Le point délicat. Le développement produit $2^n$ termes qu'il serait impossible d'écrire ; tout le travail consiste à montrer que presque tous sont nuls, par le caractère alterné, en suivant de proche en proche la contrainte « deux positions ne portent jamais le même vecteur ». Et le signe du terme survivant se calcule sans aucune notion de permutation : en comptant des échanges de voisins.

Ce que l'exercice installe. La multilinéarité et le caractère alterné suffisent à calculer un déterminant sans écrire de matrice, et le critère « base si et seulement si déterminant non nul » change une question de liberté en un calcul de signe. En traitement du signal, c'est le fait qu'une moyenne glissante sur deux points efface le signal alterné $+1,-1,+1,\dots$ : sur un anneau de $n$ points, ce signal n'existe que si $n$ est pair.