Le déterminant n'est pas linéaire

Stratégie : réfuter par un contre-exemple minimal. Pour établir qu'une application n'est pas linéaire, un seul couple bien choisi suffit. On prend le plus petit possible : deux matrices d'ordre deux, à un coefficient chacune.

1) Le contre-exemple. Dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{K})$, prenons

$$A=E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$

Chacune a une colonne nulle, donc un déterminant nul : $\det A=\det B=0$. Mais leur somme est la matrice identité, de déterminant $1$. D'où

$$\boxed{\det (A+B)-\det A-\det B=1-0-0=1\ne 0.}$$

Le déterminant n'est pas additif, donc pas linéaire.

2) L'homogénéité tombe elle aussi. Le cours donne $\det (\lambda M)={\lambda }^n\det M$. Avec $n=2$, $\lambda =2$ et $M=I_2$ : le déterminant de $2I_2$ vaut $4$, alors que la linéarité exigerait $2\times \det I_2=2$. L'exposant $n$ est la signature de l'échec.

⚠️ Le point délicat est le mot « $n$-linéaire », qui n'est pas « linéaire ». Le déterminant est linéaire par rapport à chaque colonne, les autres étant figées. Additionner $A$ et $B$ modifie ici les deux colonnes en même temps : aucune des deux hypothèses de linéarité partielle ne s'applique, et l'on n'a le droit de rien conclure. C'est exactement là que la confusion se loge.

3) Ce qui reste vrai. La linéarité colonne par colonne survit et elle est puissante. Si deux matrices $M$ et $M^{\prime }$ ne diffèrent que par leur première colonne, alors la matrice ayant pour première colonne la somme des deux et les mêmes colonnes suivantes a pour déterminant $\det M+\det M^{\prime }$. C'est cette version, et elle seule, qui justifie les formules de Cramer.

Contrôle sur un cas où l'addition marcherait par hasard. Avec $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, les trois déterminants sont nuls et l'égalité additive est vérifiée. Un cas qui marche ne prouve rien : c'est bien pourquoi la réfutation demande un contre-exemple et non une vérification.

Ce que l'exercice installe. Le déterminant vit dans un autre monde que les applications linéaires : il est multiplicatif, $\det (AB)=\det A\det B$, et non additif. Retenir le bon mot d'ordre : le déterminant respecte les produits, pas les sommes.