Les formules de Cramer

Stratégie : lire le système comme une décomposition du second membre sur les colonnes. C'est le changement de point de vue décisif. Un système $AX=b$ ne dit pas autre chose que : le vecteur $b$ s'écrit avec les colonnes de $A$, et les inconnues sont les coefficients de cette écriture.

1) La justification des formules. Notons $C_1$ et $C_2$ les colonnes de $A$. Le système $AX=b$ s'écrit

$$x{C}_1+y{C}_2=b.$$

Calculons $\det (b,C_2)$ en y remplaçant $b$ par cette expression, et en utilisant la linéarité par rapport à la première colonne seulement, la seconde restant $C_2$ :

$$\det (b,C_2)=\det (x{C}_1+y{C}_2,C_2)=x\det (C_1,C_2)+y\det (C_2,C_2).$$

Le second terme est nul, parce que le déterminant est alterné : deux colonnes égales l'annulent. Il reste $\det (b,C_2)=x\det A$, et si $\det A\ne 0$ :

$$x=\frac{\det (b,C_2)}{\det A}=\frac{\det A_x}{\det A},\text{et de meˆme}y=\frac{\det (C_1,b)}{\det A}=\frac{\det A_y}{\det A}.$$

⚠️ Le point délicat est le terme qui disparaît. C'est le caractère alterné, et non la linéarité, qui tue $\det (C_2,C_2)$. Si l'on oubliait cette annulation, la formule ne serait pas résoluble en $x$ : la démonstration tient tout entière dans le fait qu'une colonne répétée annule le déterminant.

2) Application au système proposé. Ici $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ et $b=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$.

$$\det A=2\times 1-1\times 1=1\ne 0:\text{le systeˋme est de Cramer, la solution est unique.}$$

$$\det A_x=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=3-2=1,\det A_y=\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right|=4-3=1,$$

d'où

$$\boxed{x=\frac{1}{1}=1,y=\frac{1}{1}=1.}$$

Contrôle dans le système de départ. Première équation : $2\times 1+1=3$ ✓. Seconde équation : $1+1=2$ ✓.

3) Comparaison avec le pivot de Gauss. Sur ce système, Gauss retranche la seconde ligne de la première et livre $x=1$ en une opération, puis $y=1$ par remontée : deux opérations en tout. Cramer a demandé trois déterminants. L'écart se creuse avec la taille : la méthode de Gauss coûte de l'ordre de $n^3$ opérations, alors que Cramer réclame $n+1$ déterminants d'ordre $n$ — un coût qui explose bien plus vite.

À quoi sert alors Cramer ? Non pas à calculer vite, mais à disposer d'une formule. Quand la matrice dépend d'un paramètre, Cramer exhibe la solution comme un quotient de deux polynômes en ce paramètre : on lit d'un coup où elle est définie, comment elle varie, ce qu'elle devient à la limite. Gauss donne un nombre ; Cramer donne une fonction.

Ce que l'exercice installe. La linéarité colonne par colonne, combinée au caractère alterné, suffit à résoudre un système : le déterminant n'est pas seulement un test d'inversibilité, c'est un outil de calcul explicite de la solution.