Problème — Déterminants tridiagonaux et polynômes de Tchebychev

Pour $n\ge 1$ et $x\in \mathbb{R}$, on note $T_n(x)\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ la matrice portant des $x$ sur la diagonale, des $1$ juste au-dessus et juste au-dessous, et des $0$ ailleurs, et $D_n(x)=\det T_n(x)$ ; on pose $D_0(x)=1$.

1) Calculer $D_1(x)$, $D_2(x)$ et $D_3(x)$.

2) En développant $D_n(x)$ selon la première ligne, puis le déterminant obtenu selon sa première colonne, montrer que $D_n(x)=x{D}_{n-1}(x)-D_{n-2}(x)$ pour $n\ge 2$. En déduire que $D_n$ est une fonction polynomiale unitaire de degré $n$.

3) Soit $\theta \in \left]0,\pi \right[$. Montrer que $D_n(2\cos \theta )=\frac{\sin ((n+1)\theta )}{\sin \theta }$ pour tout $n\ge 0$.

4) En déduire les $n$ racines de $D_n$, puis que $D_n(x)=\prod _{k=1}^n\left(x-2\cos \frac{k\pi }{n+1}\right)$. Pour quels réels $x$ la matrice $T_n(x)$ est-elle inversible ? Comparer avec le lemme d'Hadamard.

5) Montrer que $D_n(2)=n+1$ et $D_n(-2)=(-1{)}^n(n+1)$.

6) Application : un schéma aux différences finies. On cherche une approximation de la solution de $-y^{\prime \prime }=f$ sur $[0,1]$, avec $y(0)=y(1)=0$. On pose $h=\frac{1}{n+1}$, $x_k=kh$, et l'on remplace $y^{\prime \prime }(x_k)$ par $\frac{y_{k+1}-2y_k+y_{k-1}}{h^2}$, avec $y_0=y_{n+1}=0$. Justifier cette approximation par un développement limité à l'ordre $2$. Montrer que le système obtenu en $(y_1,\dots ,y_n)$, de matrice $K_n$ portant des $2$ sur la diagonale et des $-1$ juste au-dessus et au-dessous, a une solution unique (conjuguer $T_n(2)$ par $Q=\mathrm{diag}(1,-1,1,\dots )$). Pour quels réels $\mu$ la matrice $K_n-\mu I_n$ n'est-elle pas inversible ? Énoncer le théorème obtenu.