Sortir un facteur de chaque ligne

Stratégie : factoriser avant de calculer. Le déterminant est linéaire par rapport à chaque ligne prise séparément. Un facteur commun à une ligne sort donc du déterminant — une fois par ligne. Ici les trois lignes en ont un, et le calcul restant est immédiat.

1) Les trois facteurs. La première ligne vaut $2$ fois $(1,2,3)$, la deuxième $3$ fois $(1,2,4)$, la troisième $5$ fois $(1,1,1)$. En sortant successivement $2$, puis $3$, puis $5$ :

$$\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 12\\ 5& 5& 5\end{array}\right|=2\times 3\times 5\times \left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=30\times D.$$

⚠️ Le point délicat est le compte des facteurs. Sortir $2$ d'une ligne multiplie le déterminant par $2$, pas par $2^3$. C'est la formule $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det A$ qui coûte trois facteurs, parce qu'elle multiplie les trois lignes à la fois. Ici chaque facteur ne concerne qu'une ligne : il sort une seule fois.

2) Le déterminant réduit. Les deux premières lignes ne diffèrent qu'en dernière position. La transvection $L_1\leftarrow L_1-L_2$ ne change pas le déterminant et fabrique deux zéros :

$$D=\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 1& 2& 4\\ 1& 1& 1\end{array}\right|.$$

On développe alors selon la première ligne, où un seul coefficient survit, celui de la troisième colonne :

$$D=(-1)\times (-1{)}^{1+3}\times \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right|=(-1)\times (1-2)=1.$$

3) Conclusion.

$$\boxed{\left|\begin{array}{ccc}2& 4& 6\\ 3& 6& 12\\ 5& 5& 5\end{array}\right|=30\times 1=30.}$$

Contrôle par la règle de Sarrus, menée sur la matrice de départ sans aucune factorisation. Les trois produits descendants valent $2\times 6\times 5=60$, puis $4\times 12\times 5=240$, puis $6\times 3\times 5=90$ ; les trois produits montants valent $5\times 6\times 6=180$, puis $5\times 12\times 2=120$, puis $5\times 3\times 4=60$. La différence vaut $390-360=30$ ✓ — même résultat, six produits de trois facteurs au lieu de trois multiplications et un déterminant d'ordre deux.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe d'ouverture de tout calcul de déterminant : regarder d'abord si une ligne ou une colonne porte un facteur commun. Factoriser divise la taille des nombres avant qu'ils ne grossissent, et transforme souvent la matrice restante en une matrice à coefficients entiers minuscules, où une transvection suffit.