Une matrice entière d'inverse entière

Stratégie : arithmétique dans une égalité de déterminants. Deux ingrédients, et deux seulement. D'abord, le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est un entier. Ensuite, le déterminant est multiplicatif. Leur rencontre transforme la question en une équation dans $\mathbb{Z}$.

1) Le déterminant d'une matrice entière est entier. Le développement selon une ligne exprime le déterminant comme une somme de produits de coefficients de la matrice, affectés de signes. Si tous les coefficients sont entiers, chaque produit est entier et la somme aussi. Donc $\det A\in \mathbb{Z}$ ; et comme $A^{-1}$ est également à coefficients entiers par hypothèse, $\det \left(A^{-1}\right)\in \mathbb{Z}$.

2) L'équation. De $A{A}^{-1}=I_n$ on tire, par multiplicativité :

$$\det (A)\times \det \left(A^{-1}\right)=\det (I_n)=1.$$

3) La conclusion arithmétique. Voilà deux entiers dont le produit vaut $1$. Un entier qui divise $1$ vaut $1$ ou $-1$ : les seuls couples possibles sont $(1,1)$ et $(-1,-1)$. Donc

$$\boxed{\det A=\pm 1.}$$

⚠️ Le point délicat est l'endroit exact où l'hypothèse « l'inverse est entier » sert. Sans elle, l'égalité $\det A\times \det (A^{-1})=1$ resterait vraie, mais elle dirait seulement que $\det A$ est un rationnel non nul — ce qui n'exclut rien. C'est l'intégrité de $\det (A^{-1})$ qui referme le piège : un entier dont l'inverse est entier est une unité de $\mathbb{Z}$, et $\mathbb{Z}$ n'en a que deux.

Contrôle sur deux matrices d'ordre deux. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, on a $\det A=1$, et la formule d'inversion d'ordre deux du chapitre 7 donne $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$, qui est bien entière ✓. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, le déterminant vaut $2$ : l'inverse est $\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, dont un coefficient n'est pas entier ✓ — l'énoncé est bien mis en défaut dès que le déterminant sort de $\{1,-1\}$.

Ce que l'exercice installe. Les matrices entières d'inverse entière forment un groupe, noté ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$, caractérisé par un déterminant valant $1$ ou $-1$. C'est l'objet qui gouverne les changements de repère dans les réseaux de points à coordonnées entières, en cristallographie comme en théorie des nombres : deux repères décrivent le même réseau exactement quand la matrice de passage a un déterminant de module $1$.