Dériver une intégrale à borne variable

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 13 — Intégration · D. Théorème fondamental et suites d'intégrales

Énoncé

Justifier que $G : x \mapsto \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ est dérivable sur $R$ et calculer $G^{'}$ .

Corrigé

$t \mapsto e^{- t^{2}}$ est continue sur $R$ : elle admet une primitive $F$ (théorème fondamental), avec $F^{'} (u) = e^{- u^{2}}$ , et $G = F \circ (x \mapsto x^{2}) - F (0)$ . Par composition :

$G^{'} (x) = 2 x F^{'} (x^{2}) = 2 x e^{- x^{4}} .$

(On dérive $G$ sans connaître de formule pour $F$ — c'est toute la puissance du théorème fondamental : la primitive de $e^{- t^{2}}$ n'est pas exprimable avec les fonctions usuelles, et pourtant on calcule.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.