mathématiques (PCSI) · Chapitre 13 · Exercice de TD

Encadrer une fonction monotone par deux fonctions en escalier

Intégration · A. Fonctions en escalier et intégrales complexes · niveau 2

Énoncé

Soit $f : [a, b] \to R$ continue et croissante ( $a < b$ ), $n \geq 1$ et $x_{k} = a + k \frac{b - a}{n}$ pour $0 \leq k \leq n$ . On note $φ_{n}$ (resp. $ψ_{n}$ ) la fonction en escalier égale à $f (x_{k})$ (resp. $f (x_{k + 1})$ ) sur chaque intervalle ouvert $] x_{k}, x_{k + 1} [$ , et égale à $f$ aux points $x_{k}$ .

a) Reconnaître dans $\int_{[a, b]} φ_{n}$ et $\int_{[a, b]} ψ_{n}$ les sommes de Riemann « à gauche » et « à droite » de $f$ . En raisonnant sur chaque segment $[x_{k}, x_{k + 1}]$ , montrer que $\int_{[a, b]} φ_{n} \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{[a, b]} ψ_{n}$ , et calculer $\int_{[a, b]} ψ_{n} - \int_{[a, b]} φ_{n}$ . En déduire que, pour $f$ monotone, la somme de Riemann du cours approche $\int_{a}^{b} f$ à $\frac{( b - a ) ∣ f ( b ) - f ( a )∣}{n}$ près.

b) La fonction $t \mapsto t$ est-elle lipschitzienne sur $[0, 1]$ ? Pourquoi la démonstration du cours ne s'applique-t-elle pas, et celle-ci si ? En déduire un équivalent de $\sum_{k = 1}^{n} k$ quand $n \to + \infty$ .

c) En encadrant $t \mapsto \frac{1}{t}$ sur chaque segment $[k, k + 1]$ , montrer que $2 n + 1 - 2 \leq k = 1 \sum n \frac{1}{k} \leq 2 n - 1,$ et en déduire un équivalent de cette somme.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Coincer $f$ entre deux fonctions en escalier dont on sait calculer l'écart. On n'utilise que la définition de l'intégrale d'une fonction en escalier — la somme des aires algébriques des rectangles — et, pour les fonctions continues, la croissance de l'intégrale et la relation de Chasles ; le théorème des sommes de Riemann n'est pas utilisé : on le redémontre, pour les fonctions monotones, avec une vitesse explicite.

a) Les deux sommes. Notons $δ = \frac{b - a}{n}$ le pas. Par définition de l'intégrale d'une fonction en escalier, $\int_{[a, b]} φ_{n} = \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (x_{k}), \int_{[a, b]} ψ_{n} = \frac{b - a}{n} k = 1 \sum n f (x_{k}) .$ La première est la somme de Riemann du cours, celle des rectangles « à gauche » ; la seconde est la somme « à droite ».

L'encadrement, segment par segment. Pour $t \in [x_{k}, x_{k + 1}]$ , la croissance de $f$ donne $f (x_{k}) \leq f (t) \leq f (x_{k + 1})$ . Ce sont trois fonctions continues de $t$ sur ce segment, dont deux constantes, et la croissance de l'intégrale donne $δ f (x_{k}) \leq \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (t) d t \leq δ f (x_{k + 1}) .$ En sommant ces $n$ encadrements, et en recollant les intégrales par la relation de Chasles : $\int_{[a, b]} φ_{n} \leq \int_{a}^{b} f \leq \int_{[a, b]} ψ_{n}$ .

Le point délicat. On ne compare jamais une fonction en escalier à une fonction continue comme deux fonctions dont on intégrerait la différence : le programme définit l'intégrale des unes et celle des autres, pas celle d'un mélange. On travaille sur chaque segment avec des constantes, qui sont continues, et l'on ne somme que des nombres.

L'écart. Par télescopage, puisque $x_{0} = a$ et $x_{n} = b$ : $\int_{[a, b]} ψ_{n} - \int_{[a, b]} φ_{n} = \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 (f (x_{k + 1}) - f (x_{k})) = \frac{( b - a ) ( f ( b ) - f ( a ) )}{n} .$ Sur chaque segment, l'écart est un petit rectangle de largeur $δ$ et de hauteur $f (x_{k + 1}) - f (x_{k})$ ; glissés les uns sous les autres, ces rectangles s'empilent en une seule colonne de largeur $δ$ et de hauteur $f (b) - f (a)$ .

Conclusion. Le nombre $\int_{a}^{b} f$ et la somme de Riemann $R_{n} = \int_{[a, b]} φ_{n}$ sont tous deux dans un segment de longueur $\frac{( b - a ) ( f ( b ) - f ( a ))}{n}$ , donc $0 \leq \int_{a}^{b} f - R_{n} \leq \frac{( b - a ) ( f ( b ) - f ( a ))}{n}$ . Si $f$ est décroissante, on applique ce qui précède à $- f$ . Pour $f$ monotone, $\int_{a}^{b} f - R_{n} \leq \frac{( b - a ) ∣ f ( b ) - f ( a )∣}{n}$ : c'est le théorème des sommes de Riemann, avec une erreur en $\frac{1}{n}$ explicite.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le b), la dérivée $\frac{1}{2 t}$ n'est pas bornée sur $] 0, 1]$ , donc je dirais que $t$ n'est pas lipschitzienne. Mais est-ce une preuve ? L'inégalité des accroissements finis ne donne que le sens inverse.

Ton intuition se rend rigoureuse : une fonction $K$ -lipschitzienne a tous ses taux d'accroissement bornés par $K$ , donc sa dérivée aussi. Plus directement, suppose qu'une constante $K$ convienne pour tous $s, t \in [0, 1]$ : quel choix d'un des deux points met l'inégalité en défaut ?

Élève

Avec $s = 0$ , j'obtiens $t \leq K t$ , soit $\frac{1}{t} \leq K$ pour tout $t \in] 0, 1]$ , ce qui est faux près de $0$ . Le a), lui, n'utilise que la monotonie et la continuité.

Exactement. Pour l'équivalent, quelle somme de Riemann de $t \mapsto t$ sur $[0, 1]$ fait apparaître $\sum_{k = 1}^{n} k$ , et par quelle puissance de $n$ faut-il multiplier pour passer de l'une à l'autre ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →