Encadrer une fonction monotone par deux fonctions en escalier

La stratégie. Coincer $f$ entre deux fonctions en escalier dont on sait calculer l'écart. On n'utilise que la définition de l'intégrale d'une fonction en escalier — la somme des aires algébriques des rectangles — et, pour les fonctions continues, la croissance de l'intégrale et la relation de Chasles ; le théorème des sommes de Riemann n'est pas utilisé : on le redémontre, pour les fonctions monotones, avec une vitesse explicite.

a) Les deux sommes. Notons $\delta =\frac{b-a}{n}$ le pas. Par définition de l'intégrale d'une fonction en escalier, $${\int }_{[a,b]}{\phi }_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_k),{\int }_{[a,b]}{\psi }_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k).$$ La première est la somme de Riemann du cours, celle des rectangles « à gauche » ; la seconde est la somme « à droite ».

L'encadrement, segment par segment. Pour $t\in [x_k,x_{k+1}]$, la croissance de $f$ donne $f(x_k)\le f(t)\le f(x_{k+1})$. Ce sont trois fonctions continues de $t$ sur ce segment, dont deux constantes, et la croissance de l'intégrale donne $$\delta f(x_k)\le {\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(t)\mathrm{d}t\le \delta f(x_{k+1}).$$ En sommant ces $n$ encadrements, et en recollant les intégrales par la relation de Chasles : ${\int }_{[a,b]}{\phi }_n\le {\int }_a^{b}f\le {\int }_{[a,b]}{\psi }_n$.

Le point délicat. On ne compare jamais une fonction en escalier à une fonction continue comme deux fonctions dont on intégrerait la différence : le programme définit l'intégrale des unes et celle des autres, pas celle d'un mélange. On travaille sur chaque segment avec des constantes, qui sont continues, et l'on ne somme que des nombres.

L'écart. Par télescopage, puisque $x_0=a$ et $x_n=b$ : $${\int }_{[a,b]}{\psi }_n-{\int }_{[a,b]}{\phi }_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(f(x_{k+1})-f(x_k))=\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}.$$ Sur chaque segment, l'écart est un petit rectangle de largeur $\delta$ et de hauteur $f(x_{k+1})-f(x_k)$ ; glissés les uns sous les autres, ces rectangles s'empilent en une seule colonne de largeur $\delta$ et de hauteur $f(b)-f(a)$.

Conclusion. Le nombre ${\int }_a^{b}f$ et la somme de Riemann $R_n={\int }_{[a,b]}{\phi }_n$ sont tous deux dans un segment de longueur $\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}$, donc $0\le {\int }_a^{b}f-R_n\le \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}$. Si $f$ est décroissante, on applique ce qui précède à $-f$. Pour $f$ monotone, $\left|{\int }_a^{b}f-R_n\right|\le \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}$ : c'est le théorème des sommes de Riemann, avec une erreur en $\frac{1}{n}$ explicite.

b) La racine carrée. Elle n'est pas lipschitzienne sur $[0,1]$. S'il existait $K$ tel que $|\sqrt{t}-\sqrt{s}|\le K|t-s|$ pour tous $s,t\in [0,1]$, on aurait, avec $s=0$ et $t>0$, $\sqrt{t}\le Kt$, soit $\frac{1}{\sqrt{t}}\le K$ : impossible, puisque $\frac{1}{\sqrt{t}}\to +\infty$ quand $t\to 0$. La démonstration du cours, qui majore l'écart sur chaque morceau par $K$ fois une longueur, ne s'applique pas. Celle-ci s'applique : la racine carrée est continue et croissante, et c'est tout ce qu'utilise le a). La pente infinie en $0$ ne coûte rien, parce que les rectangles d'erreur s'empilent dans une colonne de hauteur $1$, quelle que soit la raideur de la courbe : la monotonie remplace l'hypothèse de Lipschitz.

L'équivalent. Sur $[0,1]$, la somme à droite vaut $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n^{3/2}}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$. Le a) la place entre ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t$ et ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t+\frac{1}{n}$, avec ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t={\left[\frac{2}{3}{t}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$ : $$\frac{2}{3}\le \frac{1}{n^{3/2}}\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\le \frac{2}{3}+\frac{1}{n},\text{donc}\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\sim \frac{2}{3}{n}^{3/2}.$$ Contrôle pour $n=100$ : le quotient vaut $0,67146$, bien dans $[0,66667;0,67667]$.

c) L'inverse de la racine. Pour $k\ge 1$, $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est continue et décroissante sur $[k,k+1]$, donc, par croissance de l'intégrale sur un segment de longueur $1$ : $$\frac{1}{\sqrt{k+1}}\le {\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}\le \frac{1}{\sqrt{k}}.$$ Minoration : on somme l'inégalité de droite pour $k$ de $1$ à $n$, et Chasles donne ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\ge {\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{n+1}-2$. Majoration : on somme l'inégalité de gauche pour $k$ de $1$ à $n-1$, ce qui donne ${\sum }_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\le {\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{n}-2$, et l'on ajoute le premier terme, qui vaut $1$ : ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\le 2\sqrt{n}-1$.

Le point délicat. Il faut deux découpages différents, et le premier terme mis à part : on ne peut pas majorer d'un coup par une intégrale sur $[0,n]$, car $\frac{1}{\sqrt{t}}$ n'est pas définie en $0$ — ce ne serait plus l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, la seule que le chapitre définisse.

L'équivalent. Divisées par $2\sqrt{n}$, les deux bornes tendent vers $1$ : $\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\sim 2\sqrt{n}$. Contrôle pour $n=100$ : la somme vaut $18,590$, entre $2\sqrt{101}-2\approx 18,100$ et $19$.

Ce que l'exercice installe. Coincer une fonction monotone entre deux fonctions en escalier, c'est la construction de l'intégrale en miniature. L'encadrement du c) est déjà la comparaison série-intégrale du chapitre 17, qui y donnera la nature des séries de Riemann. En physique-chimie, c'est l'intégrale lue comme une somme de contributions : découper, sommer des rectangles, contrôler l'erreur — la méthode des rectangles des capacités numériques.