Équations intégrales : le circuit RC et l'oscillateur

La stratégie. Une équation intégrale se ramène à une équation différentielle en gagnant de la régularité : l'inconnue, seulement supposée continue, est égale à une expression contenant une intégrale de l'inconnue, donc une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ par le théorème fondamental ; elle est donc elle-même de classe ${\mathcal{C}}^1$, et l'on peut dériver. La condition initiale se lit en $t=0$, où l'intégrale est nulle. Reste la réciproque, car dériver fait perdre de l'information : deux fonctions de même dérivée ne sont égales qu'à une constante près.

a) La double primitive. Le point délicat d'abord. L'intégrande $(x-t)a(t)$ dépend de $x$ : le théorème fondamental ne s'applique pas directement, il dérive une intégrale dont l'intégrande ne dépend pas de la borne. On sort donc $x$, constante pour l'intégration en $t$ : par linéarité, $$u(x)=xA(x)-B(x),\text{ouˋ}A(x)={\int }_0^{x}a(t)\mathrm{d}t\text{et}B(x)={\int }_0^{x}ta(t)\mathrm{d}t.$$ Par le théorème fondamental, $A$ et $B$ sont de classe ${\mathcal{C}}^1$, avec $A^{\prime }=a$ et $B^{\prime }(x)=xa(x)$. Donc $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $u^{\prime }(x)=A(x)+xa(x)-xa(x)=A(x)$ ; comme $A$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ de dérivée $a$, $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et $u^{\prime \prime }=a$. Enfin $u(0)=0$ et $u^{\prime }(0)=A(0)=0$.

L'interprétation. La position $y$ du mobile vérifie $y^{\prime \prime }=a$, $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=0$ : un problème de Cauchy pour une équation linéaire du second ordre à coefficients constants, ici nuls, et à second membre continu, qui a une unique solution. Comme $u$ en est une, $u$ est la position du mobile. La formule se lit comme une somme de contributions : l'accroissement de vitesse $a(t)\mathrm{d}t$ acquis à l'instant $t$ est conservé pendant la durée $x-t$ qui reste, et contribue pour $(x-t)a(t)\mathrm{d}t$ au déplacement.

b) Le circuit RC. Analyse. Soit $i$ une solution continue, et $q(t)={\int }_0^{t}i(s)\mathrm{d}s$, de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'intervalle $[0,+\infty [$ par le théorème fondamental, avec $q^{\prime }=i$. L'équation donne $i=\frac{1}{R}(E-\frac{q}{C})$ : $i$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, comme $q$. En dérivant, $R{i}^{\prime }+\frac{1}{C}i=0$ ; en $t=0$, l'intégrale est nulle et $Ri(0)=E$. Ainsi $i$ résout le problème de Cauchy $$i^{\prime }+\frac{1}{\tau }i=0,i(0)=\frac{E}{R},\text{avec }\tau =RC,$$ et par le théorème d'existence et d'unicité, $i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$ est la seule candidate.

Synthèse. Soit $i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/\tau }$ et $\Phi (t)=Ri(t)+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(s)\mathrm{d}s$. Par le théorème fondamental, ${\Phi }^{\prime }(t)=R{i}^{\prime }(t)+\frac{1}{C}i(t)=-\frac{R}{\tau }i(t)+\frac{1}{C}i(t)=0$, puisque $\tau =RC$. De dérivée nulle sur un intervalle, $\Phi$ est constante : $\Phi (t)=\Phi (0)=Ri(0)=E$. La candidate convient.

Conclusion. L'unique solution est $i(t)=\frac{E}{R}{e}^{-t/(RC)}$. À la fermeture, le condensateur déchargé se comporte comme un fil et le courant vaut $\frac{E}{R}$ ; il décroît ensuite avec la constante de temps $\tau =RC$, tandis que la charge tend vers $CE$.

Le point délicat. La condition initiale n'est écrite nulle part dans l'équation intégrale : elle y est contenue, et on l'en extrait en faisant $t=0$. C'est elle qui fixe la constante que la dérivation avait fait disparaître ; dériver seul donnerait toutes les fonctions $K{e}^{-t/\tau }$.

c) L'oscillateur. Analyse. Soit $f$ une solution continue, et $u(x)={\int }_0^x(x-t)f(t)\mathrm{d}t$ : par le a), $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, $u^{\prime \prime }=f$ et $u(0)=u^{\prime }(0)=0$. L'équation s'écrit $f=1-{\omega }^{2}u$ : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$, et $$f^{\prime \prime }=-{\omega }^2{u}^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}f,f(0)=1-{\omega }^{2}u(0)=1,f^{\prime }(0)=-{\omega }^2{u}^{\prime }(0)=0.$$ Les solutions de $y^{\prime \prime }+{\omega }^{2}y=0$ sont les $\lambda \cos (\omega x)+\mu \sin (\omega x)$ ; les conditions initiales donnent $\lambda =1$ et $\mu \omega =0$. Par unicité, $f(x)=\cos (\omega x)$ est la seule candidate.

Synthèse. Pour $f=\cos (\omega \cdot )$ et $u$ construite à partir d'elle, $\Psi =f-1+{\omega }^{2}u$ vérifie ${\Psi }^{\prime \prime }=f^{\prime \prime }+{\omega }^{2}f=0$, $\Psi (0)=0$ et ${\Psi }^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)+{\omega }^2{u}^{\prime }(0)=0$. La fonction ${\Psi }^{\prime }$, de dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$, est constante, égale à ${\Psi }^{\prime }(0)=0$ ; alors $\Psi$ est constante, égale à $\Psi (0)=0$. La candidate convient.

La loi physique. C'est l'oscillateur harmonique $\ddot{x}=-{\omega }^{2}x$ — une masse accrochée à un ressort, avec ${\omega }^2=\frac{k}{m}$ — lâché de la position $1$ sans vitesse initiale, écrit sous forme intégrale : d'après le a), la position vaut la position initiale, plus la double intégrale de l'accélération, et l'accélération vaut $-{\omega }^2$ fois la position. C'est la loi de Newton intégrée deux fois.

Ce que l'exercice installe. Une équation intégrale est un problème de Cauchy : la régularité se gagne en intégrant, l'équation différentielle se lit en dérivant, la condition initiale en $t=0$, et la réciproque se vérifie en dérivant la différence des deux membres. En physique, c'est le va-et-vient permanent entre forme intégrale et forme différentielle d'une loi — la loi des mailles écrite avec la charge ou avec l'intensité, la position obtenue en intégrant deux fois l'accélération —, à condition de garder les conditions initiales, que la forme intégrale contient et que la forme différentielle oublie.