mathématiques (PCSI) · Chapitre 13 · Application directe du cours

Intégrale d'une fonction en escalier

Intégration · A. Fonctions en escalier et intégrales complexes · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $φ : [0, 4] \to R$ valant $2$ sur $] 0, 1 [$ , $- 1$ sur $] 1, 3 [$ , $3$ sur $] 3, 4 [$ , avec $φ (0) = 5$ , $φ (1) = 0$ , $φ (3) = - 7$ et $φ (4) = 1$ . Calculer $\int_{[0, 4]} φ$ , puis expliquer pourquoi les valeurs aux points $0, 1, 3, 4$ n'interviennent pas.

Corrigé

On somme les aires algébriques des rectangles, base $\times$ hauteur :

$\int_{[0, 4]} φ = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 1 \times 3 = 3.$

Le rectangle du milieu, sous l'axe, compte négativement : l'intégrale est une aire algébrique. Les valeurs $φ (0) = 5$ , $φ (1) = 0$ , $φ (3) = - 7$ , $φ (4) = 1$ n'apparaissent nulle part : un point est un « rectangle de base nulle », d'aire nulle — modifier une fonction en un nombre fini de points ne change pas son intégrale.

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