Intégrale nulle d'une fonction positive

$f^2$ est continue et positive, d'intégrale nulle : par le théorème du cours, $f^2=0$, donc $f=0$.

Pour une fonction en escalier, c'est faux : la fonction nulle partout sauf en un point (où elle vaut $1$) est en escalier, de carré d'intégrale nulle, sans être nulle. (Cette propriété — $\int f^2=0\Rightarrow f=0$ sur les fonctions continues — est exactement ce qui fera de $(f,g)\mapsto \int fg$ un produit scalaire au chapitre sur les espaces préhilbertiens.)