L'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale

Stratégie : le trinôme du second degré qui ne change pas de signe. L'idée est d'introduire un paramètre réel qui n'a rien à faire dans l'énoncé, de fabriquer une quantité positive pour toute valeur de ce paramètre, et de lire la conclusion sur le discriminant. C'est la même mécanique qu'au chapitre 2, transportée aux intégrales.

1) La quantité positive. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, posons

$$P(\lambda )={\int }_a^b{\left(f(t)+\lambda g(t)\right)}^2\mathrm{d}t.$$

L'intégrande est un carré, donc positif ou nul ; par positivité de l'intégrale, $P(\lambda )\ge 0$ pour tout réel $\lambda$. Développons par linéarité :

$$P(\lambda )={\lambda }^2{\int }_a^b{g}^2+2\lambda {\int }_a^{b}fg+{\int }_a^b{f}^2.$$

2) Deux cas, et le second cas est le vrai.

a) Si ${\int }_a^b{g}^2=0$. La fonction $g^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle : le théorème du cours donne $g^2=0$, donc $g=0$. Alors $\int fg=0$ et l'inégalité annoncée se réduit à $0\le 0$ : elle est vraie.

b) Si ${\int }_a^b{g}^2>0$. Alors $P$ est un vrai trinôme du second degré, de coefficient dominant strictement positif, et il ne prend jamais de valeur strictement négative. Son discriminant est donc négatif ou nul :

$$\Delta =4{\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2-4{\int }_a^b{g}^2{\int }_a^b{f}^2\le 0,$$

ce qui est exactement l'inégalité cherchée.

⚠️ Le point délicat est précisément la séparation des deux cas. Si $\int g^2$ est nul, $P$ n'est plus du second degré mais affine, et parler de son discriminant n'a aucun sens. Une démonstration qui saute ce cas applique un théorème hors de son domaine — c'est l'erreur classique sur cet exercice, et elle est invisible tant qu'on ne se demande pas si le coefficient dominant peut s'annuler.

3) Le cas d'égalité. Supposons $\int g^2>0$ et l'égalité réalisée : alors $\Delta =0$, donc $P$ admet une racine double ${\lambda }_0$. Ainsi ${\int }_a^b(f+{\lambda }_{0}g{)}^2=0$, avec un intégrande continu et positif : le théorème du cours donne $(f+{\lambda }_{0}g{)}^2=0$, c'est-à-dire

$$f=-{\lambda }_{0}g:\text{les deux fonctions sont proportionnelles.}$$

Réciproquement, si $f=\mu g$, les deux membres de l'inégalité valent tous deux ${\mu }^2{\left(\int g^2\right)}^2$ : l'égalité a lieu.

Contrôle sur $[0,1]$, dans les deux régimes. Avec $f=1$ et $g(t)=t$ : $\int fg=\frac{1}{2}$, $\int f^2=1$, $\int g^2=\frac{1}{3}$, et $\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$ ✓ — inégalité stricte, cohérente avec le fait que $1$ et $t$ ne sont pas proportionnelles. Avec $g=3f$ et $f=1$ : $\int fg=3$, $\int f^2=1$, $\int g^2=9$, et $9=9$ ✓ — égalité, cohérente avec la proportionnalité.

Ce que l'exercice installe. C'est le premier des trois avatars de la même inégalité. Le chapitre sur les probabilités la retrouvera sous la forme $|\mathrm{Cov}(X,Y)|\le \sigma (X)\sigma (Y)$, avec le trinôme $\lambda \mapsto V(X+\lambda Y)$. Et le chapitre sur les espaces préhilbertiens en fera le théorème qui donne un sens à l'angle entre deux fonctions : c'est elle qui garantit qu'un cosinus reste entre $-1$ et $1$.