L'intégrale logarithmique, dérivée sans primitive

La stratégie. On ne calcule pas $F$ : $t\mapsto \frac{1}{\ln t}$ n'a pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles. On la dérive par le théorème fondamental, qui n'exige qu'une primitive abstraite, et on l'encadre en remplaçant l'intégrande par des voisines dont on connaît une primitive.

a) Définition et dérivée. Pour $x>1$, on a $1<x<x^2$ : le segment $[x,x^2]$ est contenu dans $]1,+\infty [$, où $t\mapsto \frac{1}{\ln t}$ est continue, $\ln t$ y étant strictement positif. En $t=1$, $\ln t$ s'annule : le domaine n'est pas décoratif. Sur l'intervalle $]1,+\infty [$, la fonction continue $t\mapsto \frac{1}{\ln t}$ admet une primitive $G$, par le théorème fondamental ; on n'en connaîtra jamais d'expression, et on n'en a pas besoin. Par Chasles, $F(x)=G(x^2)-G(x)$, dérivable par composition, et $$F^{\prime }(x)=2x{G}^{\prime }(x^2)-G^{\prime }(x)=\frac{2x}{\ln (x^2)}-\frac{1}{\ln x}=\frac{2x}{2\ln x}-\frac{1}{\ln x}=\frac{x-1}{\ln x},$$ la simplification $\ln (x^2)=2\ln x$ étant légitime parce que $x>0$. Pour $x>1$, numérateur et dénominateur sont strictement positifs : $F$ est strictement croissante sur $]1,+\infty [$.

b) L'encadrement près de $1$. Pour $t\in [x,x^2]$, $\frac{1}{\ln t}=t\cdot \frac{1}{t\ln t}$ avec $x\le t\le x^2$ et $\frac{1}{t\ln t}>0$, donc $$\frac{x}{t\ln t}\le \frac{1}{\ln t}\le \frac{x^2}{t\ln t}.$$ Or $t\mapsto \ln (\ln t)$ est une primitive de $\frac{1}{t\ln t}$ sur $]1,+\infty [$, donc $${\int }_x^{x^2}\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}=\ln (\ln (x^2))-\ln (\ln x)=\ln (2\ln x)-\ln (\ln x)=\ln 2:$$ cette intégrale vaut $\ln 2$ quel que soit $x>1$. Par croissance de l'intégrale, $x\ln 2\le F(x)\le x^2\ln 2$, et quand $x\to 1^{+}$, les deux bornes tendent vers $\ln 2$ : par encadrement, $F(x)\to \ln 2$.

Le point délicat. Quand $x\to 1^{+}$, le segment se réduit à un point mais l'intégrande y devient infini. L'encadrement tranche en isolant un facteur $t$, presque constant, et une fonction dont l'intégrale est exactement constante ; l'encadrement naïf $\frac{1}{2\ln x}\le \frac{1}{\ln t}\le \frac{1}{\ln x}$ ne donnerait que $\frac{1}{2}\le \lim F\le 1$.

c) À l'infini. Sur $[x,x^2]$, $\ln t\le 2\ln x$, donc $\frac{1}{\ln t}\ge \frac{1}{2\ln x}$, et en intégrant sur un segment de longueur $x^2-x$ : $F(x)\ge \frac{x^2-x}{2\ln x}$. Pour $x\ge 2$, $x-1\ge \frac{x}{2}$, donc $F(x)\ge \frac{x^2}{4\ln x}$, qui tend vers $+\infty$ par croissances comparées : $F(x)\to +\infty$, avec un ordre de grandeur $\frac{x^2}{\ln x}$ que la borne $x\ln 2$ du b) ne voyait pas.

Contrôles numériques. $F(1,001)\approx 0,69415$, entre $1,001\ln 2\approx 0,69384$ et $1,001^2\ln 2\approx 0,69453$ ; $F(2)\approx 1,92242$, au-dessus de $\frac{2}{2\ln 2}\approx 1,44270$.

Ce que l'exercice installe. Une intégrale à bornes variables se dérive par composition même quand la primitive est inaccessible, et ses limites s'obtiennent en encadrant l'intégrande par une voisine dont on connaît une primitive. Celle-ci est une cousine du logarithme intégral, qui, d'après le théorème des nombres premiers, compte à peu près les nombres premiers inférieurs à $x$.