La moyenne d'un produit de deux fonctions croissantes

Le nom, d'abord. Le résultat de cet exercice s'appelle l'inégalité de Tchebychev sur les moyennes : pour deux fonctions de même monotonie, la moyenne du produit dépasse le produit des moyennes. Ce n'est pas l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev du chapitre des probabilités, qui majore la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance : même mathématicien, deux énoncés sans rapport. On dit donc toujours « Tchebychev sur les moyennes ».

La stratégie. Centrer par la valeur moyenne, puis comparer des signes. On fabrique une fonction positive — un produit de deux facteurs qui changent de signe au même point —, on l'intègre, et la positivité de l'intégrale donne l'inégalité. Tout l'art est dans le choix du point de coupure $c$.

a) Le point $c$. Pour $t\in [a,b]$, $f(a)\le f(t)\le f(b)$ ; par croissance de l'intégrale, $(b-a)f(a)\le {\int }_a^{b}f\le (b-a)f(b)$, soit $f(a)\le ⟨f⟩\le f(b)$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[a,b]$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=⟨f⟩$.

b) Le produit positif. Soit $t\in [a,b]$. Si $t\le c$, la croissance de $f$ et de $g$ donne $f(t)\le f(c)=⟨f⟩$ et $g(t)\le g(c)$ : deux facteurs négatifs ou nuls, produit positif ou nul. Si $t\ge c$, les deux facteurs sont positifs ou nuls. La fonction continue $h(t)=(f(t)-⟨f⟩)(g(t)-g(c))$ est donc positive, et ${\int }_a^{b}h\ge 0$.

Le calcul, où la constante disparaît. Par linéarité, $${\int }_a^{b}h={\int }_a^b(f-⟨f⟩)g-g(c){\int }_a^b(f-⟨f⟩),$$ et ${\int }_a^b(f-⟨f⟩)={\int }_a^{b}f-(b-a)⟨f⟩=0$ par définition de la moyenne : centrer $f$ tue la constante $g(c)$. Il reste $$0\le {\int }_a^{b}fg-⟨f⟩{\int }_a^{b}g=(b-a)(⟨fg⟩-⟨f⟩⟨g⟩),$$ d'où, en divisant par $b-a>0$ : $⟨fg⟩\ge ⟨f⟩⟨g⟩$.

Le point délicat. Il faut que les deux facteurs changent de signe au même point : $f-⟨f⟩$ change de signe en $c$ par construction, et $g-g(c)$ aussi puisque $g$ est croissante. La valeur $g(c)$ est sans importance, puisqu'elle disparaît. Si l'on centrait les deux fonctions par leurs moyennes, les facteurs changeraient de signe en deux points différents, et le produit n'aurait plus de signe.

Monotonies contraires. Si $g$ est décroissante, $-g$ est croissante, et le b) donne $⟨f(-g)⟩\ge ⟨f⟩⟨-g⟩$ : $⟨fg⟩\le ⟨f⟩⟨g⟩$, l'inégalité se renverse.

c) La version discrète. Pour tous $i,j$, le produit $(x_i-x_j)(y_i-y_j)$ est positif ou nul : les deux suites étant rangées dans le même ordre, les deux facteurs sont de même signe. La somme double $D={\sum }_i{\sum }_j(x_i-x_j)(y_i-y_j)$ est donc positive. Développons $x_i{y}_i-x_i{y}_j-x_j{y}_i+x_j{y}_j$ et sommons : ${\sum }_i{\sum }_j{x}_i{y}_i=n{\sum }_i{x}_i{y}_i$, de même pour le dernier terme, et ${\sum }_i{\sum }_j{x}_i{y}_j=\left({\sum }_i{x}_i\right)\left({\sum }_j{y}_j\right)$ — produit de deux sommes à variables séparées —, de même pour le troisième. Donc $$D=2n\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-2\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i\right)\ge 0,$$ et en divisant par $2n^2$, on obtient l'inégalité annoncée.

Le lien avec le b). Appliquée aux valeurs de $f$ et de $g$ aux points $a+k\frac{b-a}{n}$, la version discrète compare des sommes de Riemann divisées par $b-a$ ; en passant à la limite dans l'inégalité large, on retrouve le b) : une seconde démonstration, par les sommes de Riemann.

d) Contrôle. Par intégration par parties, $⟨fg⟩={\int }_0^{1}t{e}^t\mathrm{d}t=[t{e}^t{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^t\mathrm{d}t=e-(e-1)=1$, tandis que $⟨f⟩=\frac{1}{2}$ et $⟨g⟩=e-1$, de produit $\frac{e-1}{2}\approx 0,859$. On a bien $1\ge 0,859$.

Ce que l'exercice installe. Centrer par la valeur moyenne, puis comparer des signes : retrancher la moyenne donne une fonction d'intégrale nulle, qui absorbe toute constante qu'on lui multiplie. La quantité $⟨fg⟩-⟨f⟩⟨g⟩$ est ce que le chapitre 15 appellera une covariance : deux grandeurs qui varient dans le même sens ont une covariance positive — c'est l'inégalité de Tchebychev sur les moyennes, sans vocabulaire probabiliste. En physique, elle rappelle que la moyenne d'un produit n'est pas le produit des moyennes — la puissance moyenne $⟨ui⟩$ reçue par un dipôle n'est pas $⟨u⟩⟨i⟩$.