Le théorème de la moyenne

Intégration · B. Propriétés de l'intégrale · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ (réelle). Montrer qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t = f (c),$

puis en déduire que pour $f$ continue en $x_{0}$ : $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t h \to 0 f (x_{0})$ .

Corrigé

$f$ est continue sur un segment : elle atteint ses bornes $m$ et $M$ (chapitre 6). Par croissance de l'intégrale :

$m \leq μ = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f \leq M .$

La valeur moyenne $μ$ est comprise entre deux valeurs atteintes par $f$ : le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c$ avec $f (c) = μ$ .

Pour la seconde partie : $\frac{1}{h} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f = f (c_{h})$ avec $c_{h}$ entre $x_{0}$ et $x_{0} + h$ ; quand $h \to 0$ , $c_{h} \to x_{0}$ et la continuité donne $f (c_{h}) \to f (x_{0})$ . (C'est une relecture de la démonstration du théorème fondamental : la dérivée de l'aire, c'est la hauteur.)

Énoncé

Corrigé

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