Parité et périodicité

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 13 — Intégration · B. Propriétés de l'intégrale

Énoncé

Calculer $\int_{- π}^{π} x^{3} cos x d x$ et $\int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t$ .

Corrigé

$x \mapsto x^{3} cos x$ est impaire (impaire $\times$ paire) et le segment $[- π, π]$ est centré en $0$ : l'intégrale est nulle — zéro calcul.

Pour la seconde, on linéarise (chapitre 2) : $sin^{2} t = \frac{1 - c o s 2 t}{2}$ , et $cos 2 t$ est $π$ -périodique d'intégrale nulle sur $[0, 2 π]$ (deux périodes complètes) :

$\int_{0}^{2 π} sin^{2} t d t = \frac{1}{2} \times 2 π - 0 = π .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

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