Problème — Rectangles, trapèzes, Simpson : l'ordre d'une méthode de quadrature

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PCSI), chapitre 13 — Intégration · E. Inégalité de Taylor-Lagrange

Énoncé

Soit $f$ de classe $C^{4}$ sur un segment $[a, b]$ ; pour $k \in {1, 2, 4}$ , on note $M_{k} = max_{[a, b]} ∣ f^{(k)} ∣$ . Sur un panneau $[α, β] \subset [a, b]$ , on note $m = \frac{α + β}{2}$ son milieu et $h = \frac{β - α}{2}$ sa demi-largeur, et l'on considère trois règles d'approximation de $\int_{α}^{β} f$ — le rectangle à gauche, le trapèze et la règle de Simpson : $R (f) = 2 h f (α), T (f) = h (f (α) + f (β)), S (f) = \frac{h}{3} (f (α) + 4 f (m) + f (β)) .$ La méthode composée à $n$ panneaux découpe $[a, b]$ en $n$ panneaux de largeur $\frac{b - a}{n}$ et additionne les règles ; on note $R_{n}$ , $T_{n}$ , $S_{n}$ les valeurs obtenues. Une règle est exacte sur $R_{d} [X]$ si elle donne la valeur exacte de $\int_{α}^{β} P$ pour tout polynôme $P$ de degré au plus $d$ .

1) (Degré d'exactitude) En testant $1$ , $t - m$ , $(t - m)^{2}$ , $(t - m)^{3}$ et $(t - m)^{4}$ , déterminer pour chacune des trois règles le plus grand entier $d$ tel qu'elle soit exacte sur $R_{d} [X]$ .

2) (Rectangles) Rappeler la majoration du cours $\int_{a}^{b} f - R_{n} \leq \frac{M _{1} ( b - a ) ^{2}}{2 n}$ et montrer qu'elle est atteinte pour $f (t) = t$ sur $[0, 1]$ .

3) (Trapèzes) Par l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ au point $m$ , montrer que $\int_{α}^{β} f - T (f) \leq \frac{M _{2} ( β - α ) ^{3}}{6}$ , puis que $\int_{a}^{b} f - T_{n} \leq \frac{M _{2} ( b - a ) ^{3}}{6 n ^{2}}$ . D'où vient le gain d'un ordre ?

4) (Simpson) Par l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ au point $m$ et l'exactitude sur $R_{3} [X]$ , montrer que $\int_{α}^{β} f - S (f) \leq \frac{M _{4} ( β - α ) ^{5}}{720}$ , puis que $\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq \frac{M _{4} ( b - a ) ^{5}}{720 n ^{4}}$ . (La constante optimale est $\frac{1}{2880}$ , atteinte pour $t \mapsto t^{4}$ ; on ne demande pas de l'établir.)

5) (Chiffres) Pour $I = \int_{0}^{1} e^{- t^{2}} d t$ , calculer $M_{1}$ , $M_{2}$ et $M_{4}$ , puis le nombre de panneaux qui garantit une erreur au plus $1 0^{- 6}$ par chacune des trois méthodes. Combien d'évaluations de la fonction chacune demande-t-elle ?

6) (Le principe) Que devient chaque majorant quand on double $n$ ? Constater qu'une méthode exacte sur $R_{d} [X]$ commet, sur un panneau de largeur $2 h$ , une erreur en $h^{d + 2}$ , donc une erreur globale en $\frac{1}{n ^{d + 1}}$ . Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

L'outil commun. Les trois règles sont linéaires, comme l'intégrale. Pour une règle $Q$ , l'erreur $E_{Q} (f) = \int_{α}^{β} f - Q (f)$ dépend donc linéairement de $f$ . Si $Q$ est exacte sur $R_{d} [X]$ , alors $E_{Q} (P) = 0$ pour tout $P$ de degré au plus $d$ , donc $E_{Q} (f) = E_{Q} (f - P) pour tout P \in R_{d} [X] .$ On prendra pour $P$ le polynôme de Taylor de $f$ en $m$ à l'ordre $d$ : $f - P$ est le reste, que l'inégalité de Taylor-Lagrange majore. Toute la suite est dans cette ligne.

1) Les degrés d'exactitude. D'abord, pour $k \in N$ , $\int_{α}^{β} (t - m)^{k} d t = [\frac{( t - m ) ^{k + 1}}{k + 1}]_{m - h}^{m + h} = \frac{h ^{k + 1} - ( - h ) ^{k + 1}}{k + 1},$ qui vaut $0$ pour $k$ impair et $\frac{2 h ^{k + 1}}{k + 1}$ pour $k$ pair. Puis on évalue les règles, sachant que $t - m$ vaut $- h$ en $α$ , $0$ en $m$ et $h$ en $β$ :

polynôme	intégrale	rectangle	trapèze	Simpson
$1$	$2 h$	$2 h$	$2 h$	$2 h$
$t - m$	$0$	$- 2 h^{2}$	$0$	$0$
$(t - m)^{2}$	$\frac{2 h ^{3}}{3}$	$2 h^{3}$	$2 h^{3}$	$\frac{2 h ^{3}}{3}$
$(t - m)^{3}$	$0$	$- 2 h^{4}$	$0$	$0$
$(t - m)^{4}$	$\frac{2 h ^{5}}{5}$	$2 h^{5}$	$2 h^{5}$	$\frac{2 h ^{5}}{3}$

Par exemple, $S ((t - m)^{4}) = \frac{h}{3} (h^{4} + 0 + h^{4}) = \frac{2 h ^{5}}{3}$ au lieu de $\frac{2 h ^{5}}{5}$ . Par la formule de Taylor pour les polynômes, tout polynôme de degré au plus $d$ est combinaison linéaire de $1, (t - m), \dots, (t - m)^{d}$ ; par linéarité, une règle est exacte sur $R_{d} [X]$ si et seulement si elle l'est sur ces $d + 1$ polynômes. Donc le rectangle est exact sur $R_{0} [X]$ ( $d = 0$ ), le trapèze sur $R_{1} [X]$ ( $d = 1$ ), Simpson sur $R_{3} [X]$ ( $d = 3$ ), et pas au-delà.

Le cadeau de la symétrie. Avec trois points, on attendrait de Simpson le degré $2$ ; il obtient le degré $3$ gratuitement, parce que les puissances impaires de $t - m$ sont d'intégrale nulle sur un panneau symétrique autour de $m$ , et que la règle, symétrique elle aussi, leur attribue $0$ .

2) Les rectangles. Le cours établit, pour $f$ lipschitzienne de rapport $K$ , que $\int_{a}^{b} f - R_{n} \leq \frac{K ( b - a ) ^{2}}{2 n}$ , où $R_{n} = \frac{b - a}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} f (a + k \frac{b - a}{n})$ est la méthode composée des rectangles à gauche. Pour $f$ de classe $C^{1}$ , l'inégalité des accroissements finis rend $f$ lipschitzienne de rapport $M_{1}$ : d'où $\frac{M _{1} ( b - a ) ^{2}}{2 n}$ . Elle est atteinte : pour $f (t) = t$ sur $[0, 1]$ , $M_{1} = 1$ et $R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{k}{n} = \frac{n - 1}{2 n}$ , pour une intégrale $\frac{1}{2}$ : l'erreur vaut exactement $\frac{1}{2 n}$ . La méthode des rectangles est d'ordre $1$ , sans amélioration possible en général ; sur un panneau, c'est le terme du premier degré qui la condamne : $E_{R} (t - m) = 2 h^{2}$ .

3) Les trapèzes. Taylor-Lagrange au milieu. Posons $P (t) = f (m) + f^{'} (m) (t - m)$ et $r = f - P$ . L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ au point $m$ donne, pour $t \in [α, β]$ : $∣ r (t)∣ \leq M_{2} \frac{( t - m ) ^{2}}{2}$ .

L'exactitude fait le reste. Le trapèze étant exact sur $R_{1} [X]$ , $E_{T} (f) = E_{T} (r) = \int_{α}^{β} r - h (r (α) + r (β))$ . Par l'inégalité triangulaire intégrale et la croissance, $\int_{α}^{β} r h (r (α) + r (β)) \leq \frac{M _{2}}{2} \cdot \frac{2 h ^{3}}{3} = \frac{M _{2} h ^{3}}{3}, \leq h \cdot 2 \cdot \frac{M _{2} h ^{2}}{2} = M_{2} h^{3} .$ Au total, $∣ E_{T} (f)∣ \leq \frac{4}{3} M_{2} h^{3} = \frac{M _{2} ( β - α ) ^{3}}{6}$ , puisque $(β - α)^{3} = 8 h^{3}$ .

La méthode composée. Par Chasles, l'erreur de $T_{n}$ est la somme des erreurs sur les $n$ panneaux de largeur $\frac{b - a}{n}$ : $\int_{a}^{b} f - T_{n} \leq n \cdot \frac{M _{2}}{6} (\frac{b - a}{n})^{3} = \frac{M _{2} ( b - a ) ^{3}}{6 n ^{2}} .$ D'où vient le gain d'un ordre. De l'exactitude sur $R_{1} [X]$ : la partie affine $f (m) + f^{'} (m) (t - m)$ est intégrée exactement par le trapèze, alors que le rectangle commet sur elle l'erreur $2 h^{2} ∣ f^{'} (m)∣$ . L'erreur du trapèze ne voit que le reste, en $h^{2}$ en chaque point, donc en $h^{3}$ sur un panneau ; il y a $n$ panneaux et $h$ est proportionnel à $\frac{1}{n}$ : erreur en $\frac{1}{n ^{2}}$ . Le choix du milieu comme centre n'améliore que la constante — la constante optimale est $\frac{1}{12}$ ; l'exposant vient de l'exactitude.

4) Simpson. Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ au milieu. Posons $P_{3} (t) = \sum_{k = 0}^{3} \frac{f ^{(k)} ( m )}{k !} (t - m)^{k}$ et $r = f - P_{3}$ : pour $t \in [α, β]$ , $∣ r (t)∣ \leq M_{4} \frac{( t - m ) ^{4}}{24}$ .

L'exactitude sur $R_{3} [X]$ . $E_{S} (f) = E_{S} (r) = \int_{α}^{β} r - \frac{h}{3} (r (α) + 4 r (m) + r (β))$ , et $r (m) = 0$ : le reste est nul au centre du développement, et le poids $4$ ne coûte rien. On majore : $\int_{α}^{β} r \frac{h}{3} (r (α) + r (β)) \leq \frac{M _{4}}{24} \cdot \frac{2 h ^{5}}{5} = \frac{M _{4} h ^{5}}{60}, \leq \frac{h}{3} \cdot 2 \cdot \frac{M _{4} h ^{4}}{24} = \frac{M _{4} h ^{5}}{36} .$ Au total, $∣ E_{S} (f)∣ \leq M_{4} h^{5} (\frac{1}{60} + \frac{1}{36}) = \frac{2}{45} M_{4} h^{5}$ , et comme $(β - α)^{5} = 32 h^{5}$ et $\frac{32}{720} = \frac{2}{45}$ : $\int_{α}^{β} f - S (f) \leq \frac{M _{4} ( β - α ) ^{5}}{720} .$ La méthode composée, en sommant sur les $n$ panneaux de largeur $\frac{b - a}{n}$ : $\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq n \cdot \frac{M _{4}}{720} (\frac{b - a}{n})^{5} = \frac{M _{4} ( b - a ) ^{5}}{720 n ^{4}} .$ La constante optimale. Pour $f (t) = (t - m)^{4}$ , $M_{4} = 24$ et $∣ E_{S} (f)∣ = \frac{2 h ^{5}}{3} - \frac{2 h ^{5}}{5} = \frac{4 h ^{5}}{15} = \frac{24 ( 2 h ) ^{5}}{2880}$ : la constante $\frac{1}{2880}$ est atteinte, et notre $\frac{1}{720}$ est quatre fois trop grand — l'établir exactement demanderait une formule de Taylor plus fine, que le programme n'exige pas. L'exposant, lui, est le bon, et c'est l'exposant qui fait l'ordre.

5) Les chiffres. Soit $f (t) = e^{- t^{2}}$ sur $[0, 1]$ .

$M_{1}$ . $∣ f^{'} (t)∣ = 2 t e^{- t^{2}}$ , de dérivée $2 (1 - 2 t^{2}) e^{- t^{2}}$ : ce module croît jusqu'en $\frac{1}{2}$ puis décroît, et son maximum est $M_{1} = 2 e^{- 1/2} \approx 0, 8578$ .

$M_{2}$ . $f^{''} (t) = (4 t^{2} - 2) e^{- t^{2}}$ et $f^{'''} (t) = 4 t (3 - 2 t^{2}) e^{- t^{2}} \geq 0$ sur $[0, 1]$ : $f^{''}$ croît de $- 2$ à $\frac{2}{e} \approx 0, 736$ , donc $M_{2} = 2$ , atteint en $0$ .

$M_{4}$ . $f^{(4)} (t) = (16 t^{4} - 48 t^{2} + 12) e^{- t^{2}}$ vaut $12$ en $0$ . Avec $v = t^{2} \in [0, 1]$ et $p (v) = 16 v^{2} - 48 v + 12$ , on a $∣ f^{(4)} (t)∣ = ∣ p (v)∣ e^{- v}$ . Si $p (v) \geq 0$ : $p (v) = 12 - 16 v (3 - v) \leq 12$ et $e^{- v} \leq 1$ . Si $p (v) < 0$ : comme $e^{v} \geq 1 + v$ , il suffit que $12 (1 + v) + p (v) = 16 v^{2} - 36 v + 24$ soit positif, ce qui est vrai, son discriminant $3 6^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 24 = - 240$ étant négatif. Donc $M_{4} = 12$ .

Le nombre de panneaux, avec $b - a = 1$ :

rectangles : $\frac{M _{1}}{2 n} \leq 1 0^{- 6}$ exige $n \geq 428881, 9$ , soit $428882$ panneaux et autant d'évaluations ;
trapèzes : $\frac{2}{6 n ^{2}} \leq 1 0^{- 6}$ exige $n \geq 577, 35$ , soit $578$ panneaux et $579$ évaluations, deux panneaux voisins partageant une extrémité ;
Simpson : $\frac{12}{720 n ^{4}} \leq 1 0^{- 6}$ exige $n^{4} \geq 16667$ , soit $n \geq 11, 36$ : $12$ panneaux et $2 n + 1 = 25$ évaluations — les $13$ extrémités et les $12$ milieux.

Vingt-cinq évaluations contre plus de quatre cent mille, pour la même garantie. Les erreurs réellement commises, comparées à la valeur de référence $I \approx 0, 74682413$ , sont d'ailleurs plus petites : environ $7, 4 \times 1 0^{- 7}$ , $1, 8 \times 1 0^{- 7}$ et $2, 5 \times 1 0^{- 8}$ .

6) Le principe. En doublant $n$ , les majorants sont divisés par $2$ , par $2^{2} = 4$ et par $2^{4} = 16$ . Les erreurs réelles suivent : sur l'intégrale de $e^{- t^{2}}$ , en passant de $10$ à $20$ puis $40$ panneaux, celle des rectangles est divisée par $1, 98$ puis $1, 99$ , celle des trapèzes par $4, 00$ ; celle de Simpson, de $6$ à $12$ puis $24$ panneaux, par $15, 98$ puis $15, 99$ .

Le cas général. Soit une règle $Q (f) = \sum_{j} w_{j} f (t_{j})$ , à points $t_{j}$ dans le panneau et à poids $w_{j}$ positifs — de somme $2 h$ , par exactitude sur les constantes —, exacte sur $R_{d} [X]$ . Pour $f$ de classe $C^{d + 1}$ , $E_{Q} (f) = E_{Q} (r)$ , où le reste de Taylor $r$ d'ordre $d$ en $m$ est majoré sur le panneau par $M_{d + 1} \frac{h ^{d + 1}}{( d + 1 )!}$ ; $\int_{α}^{β} r$ et $∣ Q (r)∣ \leq \sum_{j} w_{j} ∣ r (t_{j})∣$ sont alors majorés par $2 h$ fois cette quantité : l'erreur sur un panneau est en $h^{d + 2}$ , et avec $n$ panneaux, $h = \frac{b - a}{2 n}$ , l'erreur globale est en $\frac{1}{n ^{d + 1}}$ . Rectangles, trapèzes, Simpson : $d = 0$ , $1$ , $3$ , ordres $1$ , $2$ , $4$ .

Le résultat obtenu — la formule de Simpson. Pour $f$ de classe $C^{4}$ sur $[a, b]$ , la règle $S (f) = \frac{β - α}{6} (f (α) + 4 f (\frac{α + β}{2}) + f (β))$ est exacte sur $R_{3} [X]$ , son erreur sur un panneau est au plus $\frac{M _{4} ( β - α ) ^{5}}{720}$ , et la méthode composée vérifie $\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq \frac{M _{4} ( b - a ) ^{5}}{720 n ^{4}}$ : elle est d'ordre $4$ , contre $1$ pour les rectangles et $2$ pour les trapèzes. Plus généralement, une méthode de quadrature exacte sur $R_{d} [X]$ est d'ordre $d + 1$ : le degré d'exactitude polynomiale fait l'ordre. Thomas Simpson a publié la règle en 1743 ; Kepler l'employait déjà en 1615 pour jauger les tonneaux de vin.

Ce que le problème installe. Le degré d'exactitude polynomiale fait l'ordre : une méthode exacte sur les polynômes de degré au plus $d$ ne voit, d'une fonction régulière, que son reste de Taylor-Lagrange d'ordre $d$ , que l'inégalité de Taylor-Lagrange, globale, majore en tout point du panneau. En physique-chimie, c'est la question que pose toute intégration numérique en travaux pratiques — la bibliothèque scipy.integrate propose justement les trapèzes et Simpson. Et la quadrature de Gauss, au chapitre 16, poussera l'idée jusqu'au bout : avec $n$ points placés aux racines des polynômes de Legendre, l'exactitude monte jusqu'au degré $2 n - 1$ .

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