Taylor-Lagrange en action

$\exp$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ et $\left|{\exp }^{(n+1)}\right|=e^x\le e\le 3$ sur $[0,1]$. L'inégalité de Taylor-Lagrange en $a=0$, $x=1$ :

$$\left|e-\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\right|\le \frac{3}{(n+1)!}.$$

Le majorant tend vers $0$ : la somme converge vers $e$ (croissances comparées, chapitre 9). Pour $10^{-6}$ : $\frac{3}{(n+1)!}\le 10^{-6}⟺(n+1)!\ge 3\times 10^6$ ; or $9!=362880$ et $10!=3628800\ge 3\times 10^6$ : $\boxed{n=9}$ suffit. Dix termes pour six décimales : la convergence factorielle est foudroyante — et certifiée, ce que Taylor-Young (local !) n'aurait jamais permis d'affirmer.