Un calcul complexe pour deux approximations réelles

La stratégie. Calculer une fois dans $\mathbb{C}$, lire deux résultats dans $\mathbb{R}$. L'exponentielle complexe a des dérivées d'une simplicité extrême, ce que ni le cosinus ni le sinus n'ont séparément.

1) L'inégalité. La fonction $\phi :t\mapsto e^{it}$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, et ${\phi }^{(k)}(t)=i^k{e}^{it}$, de module $1$ pour tout réel $t$ : on peut prendre $M_{n+1}=1$, quels que soient $n$ et le segment. En $0$, ${\phi }^{(k)}(0)=i^k$, d'où le polynôme de Taylor ${\sum }_{k=0}^n\frac{(ix{)}^k}{k!}$. Le cours précise que l'inégalité de Taylor-Lagrange subsiste telle quelle pour une fonction à valeurs complexes : avec $a=0$ et $M_{n+1}=1$, on obtient l'inégalité annoncée.

2) La séparation. Les puissances de $i$ défilent selon le cycle $1$, $i$, $-1$, $-i$ : les indices pairs $k=2p$ donnent des termes réels, $i^{2p}=(-1{)}^p$ ; les indices impairs $k=2p+1$ des termes imaginaires purs, $i^{2p+1}=(-1{)}^{p}i$. Ainsi ${\sum }_{k=0}^n\frac{(ix{)}^k}{k!}=C_n(x)+i{S}_n(x)$, avec $$C_n(x)=\sum _{2p\le n}\frac{(-1{)}^p{x}^{2p}}{(2p)!},S_n(x)=\sum _{2p+1\le n}\frac{(-1{)}^p{x}^{2p+1}}{(2p+1)!}.$$ Comme $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, la différence $e^{ix}-(C_n(x)+i{S}_n(x))$ a pour partie réelle $\cos x-C_n(x)$ et pour partie imaginaire $\sin x-S_n(x)$. La valeur absolue de la partie réelle d'un complexe, comme celle de sa partie imaginaire, est majorée par son module : pour tout réel $x$, $$|\cos x-C_n(x)|\le \frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!},|\sin x-S_n(x)|\le \frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}.$$

Le point délicat. C'est l'inégalité $|\mathrm{Re}z|\le |z|$, et $|\mathrm{Im}z|\le |z|$, qui transporte la majoration complexe vers les deux majorations réelles ; la positivité et la croissance, elles, n'ont pas de sens dans $\mathbb{C}$, qui n'est pas ordonné.

3) Le pendule. Le sinus. Avec $n=2$, $S_2(\theta )=\theta$, et $|\sin \theta -\theta |\le \frac{|\theta {|}^3}{6}$. Pour une erreur relative, il faut aussi minorer le dénominateur : $|\sin \theta |\ge |\theta |-|\sin \theta -\theta |\ge |\theta |\left(1-\frac{{\theta }^2}{6}\right)>0$. Donc $$\frac{|\sin \theta -\theta |}{|\sin \theta |}\le \frac{{\theta }^2/6}{1-{\theta }^2/6},$$ et pour $|\theta |\le 0,24$, $\frac{{\theta }^2}{6}\le 0,0096$ : le majorant vaut au plus $\frac{0,0096}{0,9904}\approx 0,0097$. L'erreur relative est inférieure à $1\%$. Elle vaut réellement $0,966\%$ en $0,24$ rad, et atteint $1\%$ vers $0,244$ rad : la borne et le seuil sont presque exacts.

Le cosinus. Avec $n=3$, $C_3(\theta )=1-\frac{{\theta }^2}{2}$ et $\left|\cos \theta -\left(1-\frac{{\theta }^2}{2}\right)\right|\le \frac{{\theta }^4}{24}$, soit au plus $1,38\times 10^{-4}$ pour $|\theta |\le 0,24$.

Le point délicat : local contre global. La formule de Taylor-Young dit que $\sin \theta =\theta +o({\theta }^2)$ quand $\theta \to 0$, et ne dit rien de l'erreur en $\theta =0,24$. Seule l'inégalité de Taylor-Lagrange, globale, certifie un domaine de validité chiffré.

Ce que l'exercice installe. Une seule application de l'inégalité de Taylor-Lagrange, sur l'exponentielle complexe, certifie deux approximations réelles : c'est la raison profonde de la notation complexe des physiciens en régime sinusoïdal. Et l'on sait maintenant ce que veut dire « petits angles » : jusqu'à quatorze degrés environ, remplacer $\sin \theta$ par $\theta$ dans l'équation du pendule fausse le terme de rappel de moins d'un pour cent.