Un produit qui tend vers quatre sur e

La stratégie. Un produit se traite par son logarithme : il en fait une somme, et l'exposant $\frac{1}{n}$ y devient le facteur $\frac{1}{n}$ d'une somme de Riemann. On revient ensuite par l'exponentielle, qui est continue.

1) Le logarithme. Notons $u_n$ la quantité étudiée ; ses facteurs sont strictement positifs, donc $u_n>0$ et $$\ln u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{k}{n}\right).$$

2) Une somme de Riemann. C'est la somme de Riemann de $\varphi :x\mapsto \ln (1+x)$, continue sur $[0,1]$, pour la subdivision régulière de pas $\frac{1}{n}$, aux extrémités droites.

Le point délicat : l'extrémité choisie. Le théorème du cours est énoncé avec les extrémités gauches, pour $k$ de $0$ à $n-1$. Les deux sommes diffèrent du seul terme $\frac{1}{n}(\varphi (1)-\varphi (0))=\frac{\ln 2}{n}$, qui tend vers $0$ : elles ont la même limite. Mieux : $\varphi$ est croissante, et l'exercice 1 donne l'encadrement explicite $${\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x\le \ln u_n\le {\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x+\frac{\ln 2}{n}.$$

3) L'intégrale, par parties, en prenant pour primitive de $1$ la fonction $x\mapsto 1+x$ — toute primitive convient, on la choisit pour simplifier : $${\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}x=[(1+x)\ln (1+x){]}_0^1-{\int }_0^1(1+x)\cdot \frac{1}{1+x}\mathrm{d}x=2\ln 2-1.$$

4) Le retour par l'exponentielle, continue : $$u_n=e^{\ln u_n}\underset{n\to \infty }{\to }{e}^{2\ln 2-1}=\frac{4}{e}\approx 1,4715.$$

Le second point délicat. Le produit seul tend vers $+\infty$, puisque ses facteurs valent tous au moins $1$ et la moitié d'entre eux au moins $\frac{3}{2}$ : c'est l'exposant $\frac{1}{n}$ qui sauve tout, et le logarithme change cette forme indéterminée « infini puissance zéro » en une somme de Riemann.

Contrôle numérique. $u_{10}\approx 1,5228$, $u_{100}\approx 1,4766$, $u_{1000}\approx 1,4720$, pour $\frac{4}{e}\approx 1,4715$. Pour $n=100$, l'écart entre $\ln u_n$ et $2\ln 2-1$ vaut $0,0035$, sous la borne $\frac{\ln 2}{100}\approx 0,0069$.

Ce que l'exercice installe. Une somme de Riemann se fabrique : ici par le logarithme, ailleurs en mettant $n$ en facteur pour faire apparaître $\frac{1}{n}\sum \varphi \left(\frac{k}{n}\right)$. C'est le réflexe devant toute limite d'un produit de $n$ facteurs. En physique, c'est le principe des décibels des diagrammes de Bode : les gains d'une chaîne de filtres se multiplient, leurs logarithmes s'additionnent.