Une suite d'intégrales

Intégration · D. Théorème fondamental et suites d'intégrales · niveau 2

Énoncé

Pour $n \in N$ , on pose $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ . Montrer que $I_{n} \to 0$ , établir une relation entre $I_{n + 1}$ et $I_{n}$ , et en déduire un équivalent de $I_{n}$ .

Corrigé

Limite : $0 \leq I_{n} \leq e \int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{e}{n + 1} \to 0$ (croissance de l'intégrale).

Relation : par intégration par parties ( $u = e^{x}$ , $v^{'} = x^{n}$ ) :

$I_{n} = [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} e^{x}]_{0}^{1} - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{x} d x = \frac{e - I _{n + 1}}{n + 1} .$

Équivalent : donc $(n + 1) I_{n} = e - I_{n + 1} \to e$ , soit

$I_{n} \sim \frac{e}{n} .$

(Le schéma — encadrer, relation de récurrence par IPP, passage à la limite — est celui du chapitre 9 ; l'intégration lui donne ses outils définitifs.)

Énoncé

Corrigé

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